差の絶対値の最小は0(x=y=0)です。
###証明を試みましたが難解で、すでに定理として確立しているようなので諦めます
2a-3b=n(a,bは整数)という不定方程式を考えます。
2a-3b=1を満たす(a,b)の一つに(2,1)があります。つまり、
22-31=1 です。この両辺をn倍して、
22n-3n=n となります
これと最初の方程式の辺々の差を取って、
2(a-2n)-3(b-n)=0
2(a-2n)=3(b-n)
となります。
2と3は互いに素なので、kを整数として、
(a,b) = (3k + 2n,2k + n)
これが不定方程式の解となります。
問題の式で、x,yを2以上の整数とし(解が無数に存在するものを探すため、こう仮定しても問題ない)、
2*(2^(x-1))-3*(3^(y-1))=n
となるx,yを考えると、先ほどの方程式と比較して、
(a,b) = (2^(x-1),3^(y-1)) = (3k + 2n,2k + n)
ということになります。しかし、2^(x-1)は偶数、3^(y-1)は奇数で、2n、2kが偶数なので、
kは偶数、nは奇数でなければ解が存在しません。
今あるnに対し、解(x1,y1)が存在し、対応するkがあるとして、
それよりもx,yがともに大きい解(x2,y2)の存在を考えます。
まずyについて、適当な正の整数mを使って、
3^(y2-1) = 3^(y1+m-1) = 3^(y1-1)3^m = (2k + n)3^m = (2k * 3^m) + 3^mn
=2(k * 3^m) + (3^mn - n) + n
ここで、3^m*n - nは奇数-奇数なので偶数2pとおけ、
2(k * 3^m) + 2p + n = 2(k * 3^m + p) + n
となるので、k * 3^m + pを新たなkとして方程式の解(の候補)にできます。
同様に、xについても議論していくと(適当な正の整数をhとする)、
2^(x2-1) = 2(x1-1)2^h = (3k * 2^h) + 2n2^h = 3(k * 2^h) + (2n*2^h - 2n) + 2n
= 3(k * 2^h) + (2^h - 1)*2n + 2n
(2^h - 1)*2n が3の倍数3qであれば、
3(k * 2^h) + 3q + 2n = 3(k * 2^h + q) +2n
で、k * 2^h + qを新たなkにして解(の候補)にできます。
このためには、2^h-1かnの少なくとも一方が3の倍数である必要があります。
2^h-1が3の倍数になるのは、2≡-1(mod 3)のため、hが偶数のときです。
ここで、双方で新たにkと置いたk * 2^h + qとk * 3^m + pが等しくなれば、それに対応する(x,y)を方程式の解とできます。