回答編集履歴
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断念
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@@ -1,6 +1,6 @@
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1
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**差の絶対値の最小は0**(x=y=0)です。
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-
###
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+
###証明を試みましたが難解で、すでに定理として確立しているようなので諦めます
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2a-3b=n(a,bは整数)という不定方程式を考えます。
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2a-3b=1を満たす(a,b)の一つに(2,1)があります。つまり、
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2*2-3*1=1 です。この両辺をn倍して、
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追加、いろいろ間違い修正、でもまだ議論途中
answer
CHANGED
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@@ -13,7 +13,7 @@
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(a,b) = (3k + 2n,2k + n)
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これが不定方程式の解となります。
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-
問題の式で、x,yを2以上の整数とし、
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+
問題の式で、x,yを2以上の整数とし(解が無数に存在するものを探すため、こう仮定しても問題ない)、
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2*(2^(x-1))-3*(3^(y-1))=n
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となるx,yを考えると、先ほどの方程式と比較して、
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(a,b) = (2^(x-1),3^(y-1)) = (3k + 2n,2k + n)
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@@ -24,8 +24,18 @@
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それよりもx,yがともに大きい解(x2,y2)の存在を考えます。
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まずyについて、適当な正の整数mを使って、
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3^(y2-1) = 3^(y1+m-1) = 3^(y1-1)*3^m = (2k + n)*3^m = (2k * 3^m) + 3^m*n
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-
=
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+
=2(k * 3^m) + (3^m*n - n) + n
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-
ここで、3^m*n - n
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+
ここで、3^m*n - nは奇数-奇数なので偶数2pとおけ、
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-
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+
2(k * 3^m) + 2p + n = 2(k * 3^m + p) + n
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-
となるので、
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+
となるので、k * 3^m + pを新たなkとして方程式の解(の候補)にできます。
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+
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+
同様に、xについても議論していくと(適当な正の整数をhとする)、
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+
2^(x2-1) = 2(x1-1)*2^h = (3k * 2^h) + 2n*2^h = 3(k * 2^h) + (2n*2^h - 2n) + 2n
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+
= 3(k * 2^h) + (2^h - 1)*2n + 2n
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+
(2^h - 1)*2n が3の倍数3qであれば、
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+
3(k * 2^h) + 3q + 2n = 3(k * 2^h + q) +2n
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+
で、k * 2^h + qを新たなkにして解(の候補)にできます。
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-
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このためには、2^h-1かnの少なくとも一方が3の倍数である必要があります。
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2^h-1が3の倍数になるのは、2≡-1(mod 3)のため、hが偶数のときです。
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+
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+
ここで、双方で新たにkと置いたk * 2^h + qとk * 3^m + pが等しくなれば、それに対応する(x,y)を方程式の解とできます。
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