直交するベクトルを求める方法の良し悪し

ある３次元ベクトルVが与えられたとき，それに直交する３次元ベクトルを求めるための関数を作る．

関数の仕様：

Vが零ベクトルでない場合，解も零ベクトルでないものとする
解は無限に存在しますが，そのうちのいずれか１つを結果とする

……という話に対して，解を求める方法として後述する２つ｛(A)と(B)｝の話を考えました．

…のですが，(A)と(B)の２つは考えの出発点がちょっと違っていただけで，結局，(B)は(A)の縮小版みたいな話でした．
実際，後述の２つのコードを見比べれば，(B)は(A)の処理を簡略化した形の内容になっています．

質問の内容は，「実用上(?)，(B)で問題ないのだろうか？」ということです．

計算量の観点では(B)の方がちょっとだけ良いだろうと思いますが，
「(B)は，(A)が返し得る３種類の解のうちの１つ（(A)のコード内の末尾の解）を返さない」という点が気になっています．

「(B)では足りてなくて，(A)でなくてはならない」とか，
「(B)の方が(A)よりも（何らかの意味で）良くない」といったことがあるものでしょうか？

(A)

Vの要素のうち最も絶対値が小さい要素を捨てて(=0にして)，あとは残りの２次元の平面上で90度回転すれば解が得られる．
…という考えを愚直に実装したのが↓のコードです．

C++
1//Vに直交するベクトルを計算して，結果をPVに入れる．
2//(A)Version
3void Perpendicular_A( const double (&V)[3], double (&PV)[3] )
4{
5    const double ABS[]{ fabs(V[0]), fabs(V[1]), fabs(V[2]) };
6
7    if( ABS[0] < ABS[1] )
8    {
9        if( ABS[0] < ABS[2] )
10        {
11            PV[0] =  0;
12            PV[1] = -V[2];
13            PV[2] = V[1];
14            return;
15        }
16    }
17    else if( ABS[1] < ABS[2] )
18    {
19        PV[0] = V[2];
20        PV[1] = 0;
21        PV[2] = -V[0];
22        return;
23    }
24
25    //※この解は，後述の方法(B)の実装には現れない
26    PV[0] = -V[1];
27    PV[1] =  V[0];
28    PV[2] =  0;
29}

(B)

何か適当なベクトルaを持ってきたとき，a が V と平行でなければ，a と V の外積が解である．
↓
適当に決めたベクトルaと，それに直交するベクトルbの２つを用意しておいて，

a と V の外積
b と V の外積

のうち，ノルムが大きい側を解とすれば，Vに平行な（あるいは非常に平行に近い）ベクトルを用いてしまうことへ対策できる．

この話を
a = { 1,0,0 }
b = { 0,1,0 }
として実装したのが↓のコードです．

C++
1//Vに直交するベクトルを計算して，結果をPVに入れる．
2//(B)Version
3void Perpendicular_B( const double (&V)[3], double (&PV)[3] )
4{
5    //CrossProd( {1,0,0}, V ) = { 0, -V[2], V[1] }
6    //CrossProd( {0,1,0}, V ) = { V[2], 0, -V[0] }
7    //ノルムが大きい側を採用するとしたら，V[0]とV[1]の絶対値を見て判定すればよい
8
9    const double ABS[]{ fabs(V[0]), fabs(V[1]) /*, fabs(V[2])*/ };
10
11    //※解の種類が２種類だけだが，これで「十分」であろうか？
12    if( ABS[0] < ABS[1] )
13    {
14        PV[0] =  0;
15        PV[1] = -V[2];
16        PV[2] = V[1];
17    }
18    else
19    {
20        PV[0] = V[2];
21        PV[1] = 0;
22        PV[2] = -V[0];
23    }
24}

※補足：

(B)は(A)の縮小版みたいな話でした

という言い方は少し違うかもしれない．

(B)の話において，a や b に単位ベクトルを選ぶことで，a（bも同様）と V との外積というのは，
「V の a 方向成分を除去したものを， a を回転軸として90度回したもの」という話になる．
で，その単位ベクトルとして，a = {1,0,0} としたことによって，(A)の話と全く同じことになっている．
…という感じか．

[追記]

いくつかの回答やコメントにおいて，「非0」という概念が述べられていますが，
この質問内に示した実装では，「値が0かどうか」を直接的に判定するのではなく，（要素のABSを比較することによって）「より0から遠いものを用いる」という方法を採っています．

「値が0かどうか」という判定を用いた場合，その判定で0でないとされた「0にとても近い値」だけで結果が構成されるかもしれず，
そのような結果は｛精度が？，利用のし易さが？｝良くないものになる可能性があるのではないだろうか？　と考えています．（←この考え自体が間違い？）

maisumakun

2021/03/08 02:22

> 解は無限に存在しますが，そのうちのいずれか１つを結果とするその解をどのような目的に使いたいのでしょうか？それによって、「より良い解」の基準が決まってくると考えます。

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(A)

(B)

解のうち一つだけでいいなら簡単です。

以下追記（コメント後の追記）

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