np.einsum()の下記の式の意味を教えてください。

Question

c = np.arange(4).reshape(2,2)
d = np.arange(6).reshape(2,3)

[[0 1]
 [2 3]]
[[0 1 2]
 [3 4 5]]

ここからが質問です。下記の式の意味を教えて頂けますか？

np.einsum('ij, ik',c,d)

この式の計算結果は以下の通りです。

print(np.einsum('ij, ik',c,d))
[[ 6  8 10]
 [ 9 13 17]]

よろしくお願い致します。

Comments

[ozwk]

[Python - numpy.einsumについて｜teratail]( https://teratail.com/questions/156524 )

[kotai2001]

リンクが切れています。

[ozwk]

修正しました

[kotai2001]

ありがとうございました。リンクは1次元配列の例ですね。
2次元配列の場合には具体的にどう理解すればいいですか？

[kirara0048]

英語ですがまとまっているサイトがあるので紹介します。
https://ajcr.net/Basic-guide-to-einsum/

[kotai2001]

どうもありがとうございました。

Answer 1

アインシュタインの縮約記法は理解されていますか？
基本的には「添字が同じ場合は、その添字について和を取る」ということです。
(検索していただければ詳しい説明が見つかります)

今回の場合はiが同じなので、iについて和をとっています。(積をとってから和です)
残ったjとkが新しい軸になります。
ループで書くと下記のような処理です。

# np.einsum('ij,ik', c, d)

len_i, len_j = c.shape
len_i2, len_k = d.shape
assert len_i == len_i2

result = np.empty((len_j, len_k), dtype=int)
for j in range(len_j):
    for k in range(len_k):
        result[j, k] = sum(c[i, j] * d[i, k] for i in range(len_i))

print(result)
# [[ 6  8 10]
#  [ 9 13 17]]