【Unity】異なる座標系での回転情報の変換について教えてください

Question

前提・実現したいこと

いつも勉強させていただいております。Unity(というよりは3次元空間を扱う全般)での操作で分からない
点がありましたので質問させて下さい。

異なるローカル座標系A,Bがあり、グローバル座標が同じオブジェクトP, QがそれぞれA,Bの子供になっています。
Aのローカル座標系で回転Xを掛けてPを移動した場所に、Bのローカル座標系で回転Yを掛けてQを移動したいと
考えています。最終的にグローバル座標系でPとQが同一の場所にある結果が得たいです。

回転Yをどうやって求めればよいか教えてください。

具体的な例

・新規のシーン
・EmptyObject A をグローバル座標系に作成　globalrotation(localも) は (12,34,56)
・EmptyObject B をグローバル座標系に作成　globalrotation(localも) は (78,90,12)
・EmptyObject P,Qをグローバル座標系に作成 globalposition(localも)　は (3.4, 5.6, 7.8)
・Hierarchy上でPをAの子供に、QをBの子供に移動

※各座標は適当です。

該当のソースコード

上記のような状況で、

Transform P = GameOjbect.Find("P").GetComponent<Transform>();
Transform Q = GameOjbect.Find("Q").GetComponent<Transform>();

P.localPosition = Quaternion.Euler(12,34,56) * P.localPosition;
Q.localPosition = ?????????????????????????? * Q.localPosition;

#結果的に
P.Position == Q.Position でグローバルでの座標値を一致させたい

この場合上記の?????????????はどうやって求めれば良いのでしょうか。

試したこと

Quaternion.Inverse等を用いて色々と試したのですが、数学的な知識が浅く経験値も無いため
望んだ答えがでませんでした。

・こういった問題を解決する際の考慮しなければいけない点
・気をつけなければいけない点

等もありましたらご教授いただければ幸いです。

補足情報（FW/ツールのバージョンなど）

Unity2018.2
C#

宜しくお願い致します。

Answer 1

こんな感じでどうでしょう。

using UnityEngine;

public class PQRotator : MonoBehaviour
{
    private void Start()
    {
        Transform P = GameObject.Find("P").GetComponent<Transform>();
        Transform Q = GameObject.Find("Q").GetComponent<Transform>();

        Transform A = GameObject.Find("A").GetComponent<Transform>();
        Transform B = GameObject.Find("B").GetComponent<Transform>();

        A.position = Vector3.zero;
        A.localScale = Vector3.one;
        A.eulerAngles = new Vector3(12, 34, 56);

        // 初期状態でのP、Qのグローバル座標
        Vector3 OG = new Vector3(3.4f, 5.6f, 7.8f);

        P.SetParent(A);
        P.position = OG;

        B.position = Vector3.zero;
        B.localScale = Vector3.one;
        B.eulerAngles = new Vector3(78, 90, 12);

        Q.SetParent(B);
        Q.position = OG;

        // 多少の計算誤差には目をつぶるとして、下記4つの座標はすべてOG...(3.4, 5.6, 7.8)を示すはず
        Debug.LogFormat("Pワールド座標 : {0}", P.position.ToString("F6"));
        Debug.LogFormat("A回転 * Pローカル座標 : {0}", (A.rotation * P.localPosition).ToString("F6"));
        Debug.LogFormat("Qワールド座標 : {0}", Q.position.ToString("F6"));
        Debug.LogFormat("B回転 * Qローカル座標 : {0}", (B.rotation * Q.localPosition).ToString("F6"));

        // 以下、コメント中の「==」は計算誤差を許容して一致することを意味するものと見なしてください

        // P.position == A.rotation * P.localPosition であるので、両辺に左側からAの逆回転をかけると
        // Quaternion.Inverse(A.rotation) * P.Position == Quaternion.Inverse(A.rotation) * A.rotation * P.localPosition となり
        // 右辺の順回転・逆回転は打ち消し合ってQuaternion.identityとなるため
        // Quaternion.Inverse(A.rotation) * P.position == P.localPosition となる
        // つまり、P.localPosition == Quaternion.Inverse(A.rotation) * OG である...①

        // また、同じくQについても Quaternion.Inverse(B.rotation) * Q.position == Q.localPosition となる
        // つまり、Q.localPosition == Quaternion.Inverse(B.rotation) * OG である...②

        // Pのローカル座標に適用したい回転
        Quaternion RP = Quaternion.Euler(12, 34, 56);

        // Pの新しいローカル座標
        Vector3 NewPL = RP * P.localPosition;

        // Pの新しいグローバル座標
        Vector3 NewPG = A.rotation * NewPL;

        // Qのローカル座標に適用するべき回転をRQ、回転を適用して得られた新しいローカル座標をNewQL、
        // 新しいグローバル座標をNewQGとすると、NewQG == NewPG であって欲しいので
        // NewQG == B.rotation * NewQL == NewPG == A.rotation * NewPL という関係となる
        // NewPL = RP * P.localPosition 、NewQL == RQ * Q.localPosition であるので、これを上式に代入し
        // B.rotation * RQ * Q.localPosition == A.rotation * RP * P.localPosition となる

        // ここで、両辺に左側からBの逆回転をかけて左辺のB.rotationを消すと
        // RQ * Q.localPosition == Quaternion.Inverse(B.rotation) * A.rotation * RP * P.localPosition
        // さらに上式に、先ほど示した①、②を代入すると
        // RQ * Quaternion.Inverse(B.rotation) * OG == Quaternion.Inverse(B.rotation) * A.rotation * RP * Quaternion.Inverse(A.rotation) * OG
        // 次に、両辺に右側からBの順回転をかけて左辺のQuaternion.Inverse(B.rotation)を消すと
        // RQ * OG == Quaternion.Inverse(B.rotation) * A.rotation * RP * Quaternion.Inverse(A.rotation) * B.rotation * OG

        // これで両辺のVector3因子はどちらもOGになったので消すことができ
        // RQ == Quaternion.Inverse(B.rotation) * A.rotation * RP * Quaternion.Inverse(A.rotation) * B.rotation となる...③

        // ところで、上式の Quaternion.Inverse(B.rotation) * A.rotation と Quaternion.Inverse(A.rotation) * B.rotation は
        // 2つの回転がそれぞれ逆回転になり、さらに回転順序が逆になったものなので、お互いに逆回転の関係にある

        // そこで、B逆回転とA順回転を組み合わせた回転をRBiAとすると
        Quaternion RBiA = Quaternion.Inverse(B.rotation) * A.rotation;

        // A逆回転とB順回転を組み合わせた回転は、RBiAの逆回転...Quaternion.Inverse(RBiA) である

        // これらを③に代入すれば式がすっきりし
        Quaternion RQ = RBiA * RP * Quaternion.Inverse(RBiA);

        // よって、Qの新しいローカル座標は
        Vector3 NewQL = RQ * Q.localPosition;

        // 求めた回転を適用して、結果を確認してみる

        Debug.Log("----------------");

        Debug.LogFormat("古いPローカル座標 : {0}", P.localPosition.ToString("F6"));
        Debug.LogFormat("古いPグローバル座標 : {0}", P.position.ToString("F6"));

        Debug.LogFormat("Pローカル座標に適用する回転 : {0}", RP.eulerAngles.ToString("F6"));

        P.localPosition = RP * P.localPosition;
        
        Debug.LogFormat("新しいPローカル座標 : {0}", P.localPosition.ToString("F6"));
        Debug.LogFormat("新しいPグローバル座標 : {0}", P.position.ToString("F6"));

        Debug.Log("----------------");

        Debug.LogFormat("古いQローカル座標 : {0}", Q.localPosition.ToString("F6"));
        Debug.LogFormat("古いQグローバル座標 : {0}", Q.position.ToString("F6"));

        Debug.LogFormat("Qローカル座標に適用する回転 : {0}", RQ.eulerAngles.ToString("F6"));

        Q.localPosition = RQ * Q.localPosition;

        Debug.LogFormat("新しいQローカル座標 : {0}", Q.localPosition.ToString("F6"));
        Debug.LogFormat("新しいQグローバル座標 : {0}", Q.position.ToString("F6"));
    }
}

うまくいきましたでしょうか?ちょっと誤差はでるものの、おおむね一致するかと思います。数学の問題みたいで面白いですね。

注意するべき点としては、クォータニオン型の因子は掛ける順序が非可換なので、方程式を変形していく際にクォータニオンを両辺に掛ける時は、左辺が右からなら右辺も右から、左からなら左から...となるようにすることでしょうか。

Comments

[super_hogehoge]

ありがとうございます！
丁寧に考える過程を記述して下さり、非常に助かります。

丁寧に知っている情報を組み合わせて導出するのですね・・・非常に勉強になりました。

>>2つの回転がそれぞれ逆回転になり、さらに回転順序が逆になったものなので、お互いに逆回転の関係にある

知りませんでした・・・なるほど。

疑問が解消しましたのでBongo様をベストアンサーとさせていただきます。
返答が遅れ、申し訳ありませんでした。

ありがとうございました、非常に助かりました。