NumPy配列のドット積について

Question

いつも大変お世話になっております。

NumPy配列のドット積について、以下をご覧ください。

![
2 x 2　どうしの場合は、
このように
A横（1と2） x B縦(5と7) 　　＊つまり、横x縦
と計算できるはずですが、

3 x 2 と 1 x 2 の場合は、
A横（1と2） x B縦(7と?)
とはならず、どうして
A横（1と2） x B横(7と8)　　＊つまり、横x横
となるのでしょうか？

どなたか教えて頂けますと大変助かります。

以上、宜しくお願い申し上げます。

Comments

[quickquip]

コードを質問に書きましょう。あなたがなにをやったのか、そしてどうなったのかが分からないせいで混乱しています。

Answer 1

まず、質問文に貼ってある画像は行列積であって、今回の話と全く関係ない演算です。

なので

2 x 2　どうしの場合は、

このように
A横（1と2） x B縦(5と7) 　　＊つまり、横x縦
と計算できるはずですが、

ここからしてもう違います。

A*Bであれば、ndarray同士の掛け算で、基本的にはインデックスが同じ位置同士で掛け算をします。
ですから、各次元の要素数が一致してないと本来は演算できないんですが、
ブロードキャストというものが可能である場合は演算できます。

今回の場合だとBが
np.array([[7,8],[7,8],[7,8]])と拡張されたものとして計算されてます

ブロードキャストの解説:
NumPyのブロードキャストのメリットと解説

np.dot(A,B)であれば、A,Bが両方二次元のndarrayだったらたしかに行列積になるのですが、
今回はそうではないのでKSwordOfHasteさんの回答のとおりになります。

Comments

[KSwordOfHaste]

あ・・・dotじゃなく*でしたか;;;
質問文をみたときの注意不足でした。

[ozwk]

いや、これ書いた後ドット積と書いてあるのに気づいて
*じゃなくてdotだったかと思っているところです

[KSwordOfHaste]

どっちが本当なのかわからなくなりましたｗ；

[KSwordOfHaste]

自分は
・次元があってたら要素ごとに演算
・多次元配列と1要素の演算もできる
という程度の認識しかなく、その仕様が自然におもえたのでなんの疑問もなく使っていました。ozwkさん回答でNumpyのブロードキャストという用語を知ったのですが用語を知っておくのはとても重要なので大変参考になりました。ありがとうございました。

Answer 2

np.array([7, 8])のshapeは(1, 2)ではなく(2,)ですよ？

数学的に行列A,Bのドット積 A . Bは、A,Bの次元が

A.shape == (a1, a2, a3, ..., aN)
B.shape == (b1, b2, b3, ..., bM)

であったとき、aN == b1のときに定義されます。

ご質問の場合

A.shape == (3, 2)
B.shape == (2,)

ですのでこうなることに不思議はないのです。

---

補足：
b = np.array([[7, 8]])
と書くと、shapeは(1, 2)になります。これを第二引数に指定すると質問者さんがおっしゃるとおりの計算をすることになり、aN != b1になるためエラーが起きます。

Comments

[ozwk]

> 補足

エラー起きませんでしたよ?

[KSwordOfHaste]

>>> a=np.array([[1,2],[3,4],[4,5]])
>>> a
array([[1, 2],
[3, 4],
[4, 5]])
>>> b=np.array([[7,8]])
>>> np.dot(a,b)
Traceback (most recent call last):
File "<pyshell#3>", line 1, in <module>
np.dot(a,b)
ValueError: shapes (3,2) and (1,2) not aligned: 2 (dim 1) != 1 (dim 0)

こうなりました。python3.6.0です。バージョンによってはbの最初の次元が1だったらなかったことにしてくれるといった振る舞いをしたりするんでしょうか！？使いやすさのためそういう振る舞いをしてくれる配列演算機能を何かで見た気がします（別言語ですが）

[KSwordOfHaste]

失礼しました。numpyのバージョンを書くべきでしたね。自分の環境では
numpy 1.12.1+mkl
でした。

[KSwordOfHaste]

ozwkさんの回答みてようやく気付きました。dot積じゃなくてcross積ですね・・・

[KSwordOfHaste]

質問者さんが混乱しないようにコメントしておきます。
行列演算での積の代表的なものにdot積、cross積があります。自分の回答はdot積についてのものです。
Numpyを使う場合、ozwkさん回答にあるブロードキャストについても知っておく必要があると思います。これを知っておくと行列演算がより理解できると思いますが知らないと混乱の元になると思いました。