浮動小数点数の演算誤差の減らし方

浮動小数点数同士の加算の誤差を減らしたい

以下のようなプログラムで浮動小数点同士の加算を行っているのですが、極力誤差を減らしたいです。

C言語
1int main(void){
2    int n;
3    double result = 0.0;
4    int range = 100000;
5    
6    for(n=0; n<range; n++){
7
8        result += sin(2.0*M_PI*n/range); 
9
10    }
11
12    printf("%25.15lf\n",result);
13    return 0;
14}

round関数を使って出力範囲の桁数で四捨五入したのちに計算を行えば良いのでしょうか？それとも他に精度を上げる方法があるのでしょうか？教えていただきたいです。

hoshi-takanori

2022/07/01 03:36

Objective-C は C とは別の言語なので、C のタグを使ってください。 https://teratail.com/tags/C

maisumakun

2022/07/01 04:21

理想的な条件で計算すれば0になりそうなのですが、何を目的としてこの計算を回している状況でしょうか？

行動規範の内容に同意します

回答2件

ベストアンサー

積分のように多数の数の和を取る場合、計算途中の合計がこれから足す数に比べて大きくなります。
すると加算の際に有効桁からはみ出て誤差の要因になります。

そこで加算したときにいくつ足し残したのかを記録して次の加算に反映するようにします。
すると足し残しが計算途中の合計に比べて十分な大きさになれば
足し残しが合計に反映されるようになります。

C
1#include <stdio.h>
2#include <math.h>
3 # define M_PI 3.14159265358979323846
4 
5int main(void){
6    
7    int range = 100000;
8    
9    
10    double result = 0.0;
11
12    
13    for(int n=0; n<range; n++){
14
15        result += sin(2.0*M_PI*n/range); 
16
17    }
18
19    printf("%e\n",result); // 5.515565e-13
20    
21    
22    
23    double R1 = 0;
24    double S1 = 0;
25    for(int n=0; n<range; n++){
26        double x = sin(2.0*M_PI*n/range);
27        double R2 = R1 + x;
28        double S2 = S1 + R2;
29        double T = S2 - S1;
30        R1 = R2 - T;
31        S1 = S2;
32
33    }
34
35    printf("%e\n",S1); // 3.784340e-15
36    return 0;
37}

資料

投稿2022/07/01 04:14

ozwk

総合スコア13528

otn

2022/07/01 04:24

なるほど。これだと倍の精度で計算したのとほぼ同じになりますね。

lala

2022/07/01 06:36

誤差がでる理由も詳しく説明してくださってありがとうございます！ようやく理解ができました、助かりました！

行動規範の内容に同意します

収束する級数のように、絶対値が大きい物から小さい物へと順番に足していく場合は、絶対値の小さい物から順に足していくと良いというのはありますが、今回はそうではないので、簡単な方法は無いでしょう。
強いて言えば、面倒ですが、足さずに各項を配列に入れて、絶対値でソートして、絶対値の小さい順に足していくと、精度が上がるでしょう。

また、処理系によっては、doubleより有効桁数の多い型（四倍精度とか）があるかも知れません。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%80%8D%E7%B2%BE%E5%BA%A6%E6%B5%AE%E5%8B%95%E5%B0%8F%E6%95%B0%E7%82%B9%E6%95%B0