ある点をある直線に対して垂直方向に移動させた時の座標の求め方

Question

点P(x_p,y_p)と点Q(x_q,y_q)を通る直線Lが存在したたとき、ある点A(x_a,y_a)を直線Lに対して垂直方向にn倍移動させた時の座標を求めたいです。

現在、すごいまわりくどい方法で座標を算出しているのですが、もっと簡単な方法で座標を求められると思うため、質問いたしました。

現在書いているコードのアルゴリズムは以下のような感じです。

1. 外積を用い、点Aと直線Lまでの距離Rを算出

2. 点Aから点Pまでの距離Tを算出

3. ベクトルPQの角度αを求め、線分PQを点Pを軸に-α度回転させ、一度X軸に平行な直線L'を算出

4. 点Aも同様に-α度回転させる(点A')

5. 点A'から直線L'に垂線を下ろした時、交わる点H'の座標を求める

　　(y座標はy_p、x座標はx_p+(T^2-R^2))

1. 点H'をX軸方向にn倍する

2. ステップ6で求めた点をステップ3で求めた角度αを元にもう一度回転させる

以上により求めたい角度を求めています。

簡単な求め方を教えてください。

Answer 1

点Aから直線に下ろした垂線の足さえ求まれば、あとは以下のようにすればよいです。

1. 垂線の足 h を求める。
2. ベクトル hA を N 倍する。

垂線の足hは、内積の性質

ベクトルa, b のなす角をθとしたとき、
cosθ = a・b / |a||b|

を使って、以下のようにして求めます。

geometry - Finding a perpendicular vector from a line to a point - Mathematics Stack Exchange

コード

計算部分

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 直線が通る2点
p1 = np.array([1, 2])
p2 = np.array([4, 3])

# 点
P = np.array([2, 3])
N = 4.5  # 何倍するか

# 計算している部分
v = (p2 - p1) / np.linalg.norm(p2 - p1)  # 直線の方向を表す単位ベクトル
h = (P - p1) @ v * v + p1  # 点 P から直線に対して下ろした垂線
Q = h + (P - h) * N  # N 倍した点

可視化

#
# 可視化
#
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))
ax.set_xlim(0, 6)
ax.set_ylim(0, 6)
ax.grid()

# 点 p1, p2, P, Q, h を描画する。
def plot_point(p, name):
    ax.annotate(f"{name} ({p[0]:.1f}, {p[1]:.1f})", p, p + 0.2, fontsize=13)
    ax.scatter(*p, s=30, c="r")


plot_point(p1, "p1")
plot_point(p2, "p2")
plot_point(h, "h")
plot_point(P, "P")
plot_point(Q, "Q")

ax.annotate("", P, h, color="k", arrowprops=dict(arrowstyle="->"))
ax.annotate("", Q, h, color="k", arrowprops=dict(arrowstyle="->"))

# 直線を描画する。
x = np.linspace(0, 5, 100)
y = v[1] / v[0] * (x - p1[0]) + p1[1]
ax.plot(x, y)

Comments

[mikanken]

計算量も少なく可視化付きでわかりやすかったためベストアンサーとさせていただきました！

Answer 2

点P(x_p,y_p)と点Q(x_q,y_q)を通る直線Lが存在したたとき、ある点A(x_a,y_a)を直線Lに対して垂直方向にn倍移動させた時の座標を求めるという問題を、プログラムではなく一度、手で解くというのはどうでしょうか。

この問題は高校数学の知識で解ける問題です。
ちょっと手間がかかりますが、求めたい点の座標(X,Y)を、紙とペンでゴリゴリ計算していくと
XとYがx_p,y_p,x_q,y_q,x_a,y_a,nをつかった式で表されるはずです。
つまり、XとYに対する公式が得られます。

あとはプログラムでこのXとYの公式の計算を実装するだけで、1行ほどで終わると思います。
紙とペンで解くのは面倒ですが、何度もこの問題を解く必要がある場合は毎回1~7の手順を踏むよりかは公式を作ってしまってそこに代入するだけの方が、計算コスト的に一番だと思います。

参考になれば幸いです。

Comments

[mikanken]

一度計算したいと思います。ありがとうございました。

Answer 3

んーと……直線Lへ点Aから垂線Mを下ろしたとき、直線LとMの交点をR と置くと、欲しいのは線分ARを直線Lから離れる方向へn倍した点、ですよね。

直線 ax+by+c=0 に垂直で，(x0,y0) を通る直線の方程式は，b(x−x0)−a(y−y0)=0
という公式がありますので、事前に直線Lの方程式からa,b,cを求めておけば、垂線Mの方程式が出ます。

このとき、直線LとMの交点 Rは、両方の方程式が分かっているので連立方程式を解くことに他なりません。

これで点Rが分かりましたら、R（x_r,y_r）を基点として点Aへの座標の差（ベクトル）が出ます。
あとはこれをn倍すればよい……のかな？

Answer 4

(1) PとQが通る直線Lが原点を通るように (-x_p,-y_p) だけ並行移動
(2) PとQが通る直線LがX軸と並行になるように回転
(3) AをX軸で対象になるように移動（n倍）
(4) (2)の逆変換
(5) (1)の逆変換

を行列演算でまとめて

CONV_A = np.linalg.inv(T).dot(np.linalg.inv(R)).dot(F).dot(R).dot(T).dot(A)
#T: 並行移動行列
#R: 回転移動行列
#F: 対象移動行列

のように行うのはどうでしょうか。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 3つの点をランダムで生成
P = np.random.uniform(0,10,(2))
Q = np.random.uniform(0,10,(2))
A = np.append(np.random.uniform(0,10,(2)), 1)

# 並行移動行列(Pを原点に移動)
T = np.array([[1,0,-P[0]],[0,1,-P[1]],[0,0,1]])
# 回転行列（PQがX軸と並行になるように回転）
rad = np.arctan((Q[1]-P[1])/(Q[0]-P[0]))
R = np.array([[np.cos(-rad),-np.sin(-rad),0],[np.sin(-rad),np.cos(-rad),0],[0,0,1]])
# X軸に対する対称変換行列
F = np.array([[1,0,0],[0,-1,0],[0,0,1]])
# まとめて変換
CONV_A = np.linalg.inv(T).dot(np.linalg.inv(R)).dot(F).dot(R).dot(T).dot(A)

# グラフにて確認
f = lambda x:(Q[1]-P[1])/(Q[0]-P[0])*(x-P[0])+P[1]
x = np.linspace(0, 10, 100)
y = f(x)
ax = plt.subplot()
ax.set_aspect('equal')
ax.plot(x,y,'-')
ax.plot(P[0], P[1], 'bo')
ax.plot(Q[0], Q[1], 'bo')
ax.plot(A[0], A[1], 'ro')
ax.plot(CONV_A[0], CONV_A[1], 'rx')
plt.show()

Comments

[ozwk]

角度ベースで回転するよりも
直線方向と直線に垂直な方向で正規直交基底を作って
座標変換したほうがよいかと
(逆変換は転置になる)

[magichan]

ozwkさん　たしかに角度を求めるよりもその方がシンプルになりますね。