ランダムウォークの生成乱数

Question

ランダムウォークにて乱数の分布によってグラフの見た目にはどのような違いが現れるのでしょうか。
ここで言うグラフとは、ランダムウォークの次元+時間軸のグラフの事です。
ここでいう見た目とは、十分に運動させ、ディティールが分からないほど十分に縮小させた時の見た目の事です。
別の他の事でも構いませんが。

Wikipediaによれば、独立かつ同分布でなければダメらしいです。つまり正規乱数ではランダムウォークとは呼べないっぽいらしいです。

Yahoo知恵袋のとある記事では、一様乱数と正規乱数で結果を比較したい(おそらく学校からの課題？)らしいです。

つまり、ここらで結果に何らかの違いを見せるんじゃないかと思うわけです。

私の直感的には、分布の平均値が0(または同じ)であり、絶対値の平均値も同じであれば違いは出ないんじゃないかと思いました。

私なりに計算させてプロットしてみたところ、以下のような感じでした。

######二項分布

######一様分布

######正規分布

やはりそれぞれ特徴を感じます。何回か試してみても似たような雰囲気を感じました。
気のせいでしょうかね。縦横比だけの問題なんでしょうか。
フラクタルっぽいのでただの拡大・縮小だけなら特徴は変わらなさそうですけど。
何かここらの事に言及している人はいないのですかね。

Comments

[wwbQzhMkhhgEmhU]

プログラミングに関係ありません。
せめて疑似乱数生成方式とかなら関係あるかと思いますが。
数学的にもどうでもいい話です。

Answer 1

独立かつ同分布でなければダメらしいです。つまり正規乱数ではランダムウォークとは呼べないっぽいらしいです。

独立かつ同分布であれば、正規乱数を使ってもランダムウォークです。
つまり、毎回同じ正規分布から独立に得られた変化量分だけ移動しても、ランダムウォークといえます。

分布の違いについて、十分に小さく縮小した図形は、どれも縦横比の違いをのぞいて同じ形に収束します。
これは、中心極限定理によるものです。

時刻 m の位置(確率変数)を x[m] とし、時刻 m の変化量(こちらも確率変数)を Δx[m] とします。
このとき、時刻 m, n (m < n) の位置の間には、
x[n] = x[m] + Δx[m+1] + … + Δx[n-1] + Δx[n]
という関係があります。

各回の変化量 Δx[m+1], …, Δx[n-1], Δx[n] が独立かつ同一の分布から得られている場合、
各回の変化量にどのような分布(平均がゼロ、分散が有限という条件はありますが)を用いても、
中心極限定理により、これらの和の分布(つまり、x[n] と x[m]の差の分布)は、 n と m が離れるほど正規分布に近づきます。

図形を縮小していくということは、細かい変化を無視するということですから、
より離れた n と m に着目すると、 x[n] と x[m] の関係は、正規乱数を用いたランダムウォークに近づきます。