量子状態の足し算について

Question

グローバーアルゴリズムをつかった、データベース探索のプログラムを行おうとしています。
問題設定】
左から番号１、２、３...nと名前がついた箱があり、このn個の箱のどれかに、値１があり、それ以外の箱は0を持っています。この１を持つ箱は何番目の箱なのかを探すプログラムをpythonで再現するようにしています。> http://testen.wp.xdomain.jp/2017/06/07/グローバーのアルゴリズム/

量子状態の足し算について困っています。
例として、
|Φ>＝Σ|i> 　(i=1~10)
なる、量子状態Φをどのように計算するのでしょうか？

n=10
def sigma(function, frm, to):
    result = 0;
    for i in range(frm, to+1):
        result += func(i)
    print(result)
#Φの定義
    phai = sigma(Qubit(i), 1, n)

Qubitは０か１状態でしか、計算できないので、Qubit(i)は間違っているのは自明なのですが、、、

私の考えとして、たとえば、５を2進数で展開すると、bin(5)='0b101'とbが入ってしまい、再びエラーになってしまいます。

それ以前に、Qubitと量子状態の意味を完全に理解していない気もしますが。。

ご鞭撻のほど、よろしくお願いいたします。

Comments

[退会済みユーザー]

使おうとしてるのはこれですか？ https://github.com/limitedmage/qubit.py

[can110]

こっちかな？http://docs.sympy.org/latest/modules/physics/quantum/qubit.html

[Fallout_18]

ごめんなさい、こちらのサイトにある方のR言語をpythonで再現しようとしています。http://testen.wp.xdomain.jp/2017/06/07/グローバーのアルゴリズム/

[can110]

あ、ちんぷんかんぷんです^^; お役に立てずすみません。

[Fallout_18]

いえ！ご協力ありがとうございます！

Answer 1

ハミルトニアンに対する基底が決まれば、任意の状態はその完全系の線形結合で表現できます。
ですので、基底の数が有限nの場合、任意の状態は一本のn次元のベクトルで表現できます。
また、任意の作用素はnxn次元の行列になります。

そのうち今の選ばれた状態というのが以下のもので、

f1 = rep(0,n)
f1[sample(1:n,1)]=1

n次元のベクトルを0で初期化して、そのうちどれか一個の要素をランダムで選んで、1にしています。

psi = rep(1,n) / sqrt(n)は|Φ>＝Σ|i> (i=1~10)ですべての要素が1で初期化して、規格化してノルムを1にしています。

Uf = diag(1,n) - 2 * f1 %*% bra(f1)
Us = 2 * psi %*% bra(psi) - diag(1,n)

は「グローバー回転の動き」の後の式を、基底で展開して、連立方程式を考えると出てきます。

for(i in 1:itr){
  psi = Us %*% Uf %*% psi
}

この部分でUs,Ufをitr回作用させています。

ψにRを作用させることで、均等な重ね合わせ|ψ⟩から、|f1⟩の確率振幅が強められた状態に移ったことを意味します。

というのを実行しています。

最後に振幅が最大の要素を取り出せば終わりです。
which.max(psi^2)

---

pythonでnumpyを使って書くと以下になります。
（拡散行列は更新されてはいけないのですね。修正しました。）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(1024)

n = 2**3
itr = 8
f1 = np.zeros(n)
r = np.random.randint(n)
print(r)
f1[r] = 1

psi = np.ones(n)
psi /= np.linalg.norm(psi)

def Uf(v):
    new = np.matmul(np.eye(n), v) - 2 * f1 * np.dot(f1, v)
    return new / np.linalg.norm(new)

def Us(v):
    new = 2*np.matmul(np.ones((n,n))/n, v) - np.matmul(np.eye(n), v)
    return new / np.linalg.norm(new)

for i in range(itr):
    psi = Us(Uf(psi))
    plt.plot(psi*psi, label=i)

plt.yscale('log')
plt.grid()
plt.legend()
plt.show()

print(np.argmax(psi*psi))

---

sympyで自分で頑張る版。
実際はHadamardGateを使って初期状態を準備しますが、シンボリックで割り算をしてしまって大変なことになるので、無理やり一度実数で割っています。
IdentityGateなので使わなくてもいいのに、無駄に使って計算時間が少し増えています。

import itertools
from sympy.physics.quantum.qubit import Qubit, measure_all
from sympy.physics.quantum.dagger import Dagger
from sympy.physics.quantum.qapply import qapply
from sympy.physics.quantum.gate import HadamardGate, IdentityGate
from math import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt
import functools
import operator

def prod(iterable):
    return functools.reduce(operator.mul, iterable, 1)

n = 3
itr = 8

f_ = [0]*n
f_[1] = 1
fa = Qubit(*f_)

basis = [] 
for psi_ in itertools.product([0,1], repeat=n):
    basis.append(Qubit(*psi_))
psi0 = sum(basis)/sqrt(2**n)
psi = sum(basis)/sqrt(2**n)

Hs = prod([HadamardGate(i) for i in range(n)])
Is = prod([IdentityGate(i) for i in range(n)])

'''
p_ = [0]*n
p = Qubit(*p_)
psi0 = qapply(Hs*p).doit()
psi = qapply(Hs*p)
'''

Uf = lambda q: qapply(Is*q - 2*fa*Dagger(fa)*q)
Us = lambda q: qapply(2*psi0*Dagger(psi0)*q - Is*q)

for i in range(itr):
    psi = Us(Uf(psi))
    y = [v[1] for v in measure_all(psi)]
    x = [''.join(map(str, v[0].qubit_values)) for v in measure_all(psi)]
    plt.plot(x, y, marker='.', label=i)
    print(y)

plt.grid()
plt.yscale('log')
plt.legend()
plt.show()

---

grover見つけちゃったから答え合わせ版。
操作回数によって逆に振幅が下がるのが気持ち悪いのですが、ライブラリの実装と同じ結果になるので、ビット数が少なくて、操作回数が少ないことが原因だと思い込むことにします。

from sympy.physics.quantum.qapply import qapply
from sympy.physics.quantum.qubit import IntQubit, Qubit, measure_all
from sympy.physics.quantum.grover import OracleGate
from sympy.physics.quantum.grover import superposition_basis
from sympy.physics.quantum.grover import grover_iteration, apply_grover
import matplotlib.pyplot as plt

numqubits = 3
f = lambda qubits: qubits == IntQubit(4)
v = OracleGate(numqubits, f)
q = superposition_basis(numqubits)
for i in range(8):
    q = qapply(grover_iteration(q, v))
    ans = qapply(apply_grover(f, numqubits, iterations=i+1))
    y = [v[1] for v in measure_all(q)]
    x = [''.join(map(str, v[0].qubit_values)) for v in measure_all(q)]
    plt.plot(x, y, label=i)
    print(q)
    print(ans)

plt.legend()
plt.grid()
plt.yscale('log')
plt.show()

Comments

[Fallout_18]

お答えありがとうございます！！
こちらも、ひとつの参考にしたいと思います。
ブラケット表記で計算していくと、グラフができないということですよね。。？
以下に、与えられた式をそのまま直訳して、私なりにコードを書いてみました。

[Fallout_18]

力足らずですいません。
以下のエラーがでました。
plt.plot(psi*psi)
AttributeError: module 'matplotlib' has no attribute 'plot'

[mkgrei]

import matplotlib.pyplot as plt
ではなく
import matplotlib as plt
をしていませんか。

[Fallout_18]

すごいです。。。

Answer 2

皆さま、お答えありがとうございます！！
私なりに、チャレンジしてみました。まだ完成ではないのですが、4割～6割ほどの出来だと思います。よろしければ、添削の程をお願い致します。

from sympy.physics.quantum import*
from sympy.physics.quantum.gate import IdentityGate as I
from sympy.physics.quantum.qubit import Qubit
from sympy.physics.quantum.dagger import Dagger
import math
import numpy as np
import random
from sympy import*
import sympy
#準備
n = 10
itr = 8 　　　　#Grover回転の回数
f = np.zeros(n)　　#0が１０個の箱を作る
a = random.randint(0, n-1)　　#1からnのいずれかの一つを選ぶ
f[a] = 1 　　　　　　#選んだ箱に１を入れる
A = '{:04b}'.format(a) #Qubitを使うために、2進数表記
fa = Qubit(A) #|f1>
fb = Dagger(fa)

def s(t):
    p = Qubit('{:04b}'.format(t))
    return(1/sympy.sqrt(n))*p
def w(t):
    r =  Dagger(p)
    return(1/sympy.sqrt(n))*r

def sigma(function, start, end):
    result = 0;
    for i in range(start, end+1):
        result += function(i)
    print(result)

Uf = I - 2*fa * fb
Us = 2*sigma(s,1,n)*sigma(w,1,n) - I
for i in range(itr):
    z = Us*Uf*sigma(s,1,n)

#plt.plot(n, z^2)
#plt.show()
print(z)

Comments

[mkgrei]

z = sigma(s,1,n)
for i in range(itr):
....z = Us*Uf*z

....はインデントです。
再代入を忘れていませんか。

[Fallout_18]

申し訳ないです、チンプンカンプンです。
ただ、for分のよく間違える典型例だということしか理解できません。。
for i in range(itr):
z = sigma(s,1,n)
y = Us*Uf*si
z +=y

[mkgrei]

得たいものはR=UsUfとして
RRRRRRRRz
なので、作用する回数をべた書きしなくてもいいようにわけます。
R(R(R(R(R(R((R(Rz))))))))

これを得るために
z = Rz
でRを一度作用させることができて、
それをfor文で8回繰り返すことで達成できます。

pythonの構文とsympy独自の書き方が混ざっているので紛らわしいです。

[Fallout_18]

fa = Qubit(A)
fb = Dagger(fa)
・・・
Uf = I - 2*Qubit(A)(Dagger(fa))
Us = 2*sigma(s,1,n)(sigma(w,1,n)) - I
for i in range(itr):
z = sigma(s,1,n)
R = UsUf
z = Rz
print(z)
で実行すると、
Uf = I - 2*Qubit(A)(Dagger(fa))
TypeError: 'Qubit' object is not callable
と出力されました。上記のおっしゃる、python構文とsympy構文がごっちゃになっていることが原因なのでしょうか？

[mkgrei]

2*Qubit(A)(Dagger(fa))
これですが
Qubit(...)(...)
になっています。
a = Qubit()
a()
となってしまうので、エラーになっています。クラスを関数としてコールしたので。
2*Qubit(A)*(Dagger(fa))
掛け算が必要です。

Answer 3

質問の内容も理解できない全くの門外漢ですがQuantum Mechanicsを使うとなんとなくそれっぽい結果が得られました。
結果の意味も分かっていませんが。
参考：SymPy で量子プログラミングを体験してみましょう

from sympy.physics.quantum.qubit import Qubit
ret = None
for i in range(10): # 1(0000)から10(1010)
    s = '{:04b}'.format(i+1) # '0101'など
    q = Qubit(s)
    print(q)
    if ret is None:
        ret = q
    else:
        ret += q
print(ret)
# |0001> + |0010> + |0011> + |0100> + |0101> + |0110> + |0111> + |1000> + |1001> + |1010>

Comments

[Fallout_18]

http://testen.wp.xdomain.jp/2017/06/07/グローバーのアルゴリズム/
こちらのサイトにある、グローバーのアルゴリズム概要の下にある（例）に、R言語でプログラムを書いている方がおり、それをpythonで表現したいということです。
説明不十分で申し訳ありません。

[can110]

内容全く理解できませんが^^;
Rでできることの大半はPythonでもできるようなので、まずは代替ライブラリがないか探してみてはいかがでしょうか？
お役に立てずすみません。

[Fallout_18]

すいません、以下のプログラム
s = '{:04b}'.format(i+1) # '0101'など
について、解説をいただけませんでしょうか？
これが、もしかしたら私が求めている答えかもしれません。

[can110]

それは単に1～10までの数値を2進数表現の文字列にしているだけです。
たとえば5は`0101`という文字列になります。
Qubitはこのような2進表現文字列から生成できるので。

[Fallout_18]

すいません、私の勉強不足です。
5は2進数に表すと、
bin(5)='0b101'
で0101ではないと思うのですが。

[can110]

bin(5)の表示結果「0b101」のうち「0b」は「2進表記ですよ」という目印です。
値として意味のあるのは「101」の部分です。
hex(5)の表示結果「0x5」のうち「0x」部分が「16進表記ですよ」と同じ意味です。
そのような目印は不要で、4桁0詰の文字列を得たいので
s= ～のようなコードを書いています。

[Fallout_18]

理解しました！
一度、コードを書き直してみます！！