3次元座標を回転させたい

Question

前提

3次元座標を回転させたいです。
今、一般の左手系のx, y, z座標で様々な粒子の座標が入っています。
(例)
[[13.73374081 -1.31704426 1.06994426]
[13.73374081 0.1249985 -0.34463105]
[13.73374081 0.02886231 0.30085477]
[13.73374081 0.08379728 -0.42703351]
[13.73374081 -0.24581251 0.1772511 ]
[13.73374081 -0.1084751 -0.06995624]
[27.46748161 1.21683085 -0.51630282]
[27.46748161 1.24429834 -0.54377031]
[27.46748161 -0.04667326 0.0605143 ]
[27.46748161 0.99709105 -0.76351017]]

このとき、これらの座標を回転させたいと考えています。
具体的には
[0, 0, 1]というz軸が[ 0.78508819, -0.58677951, -0.19830868]に移動するような回転です。

つまり、どの軸に何度回転させるかという情報がなく、上記のような2つの座標の情報があり、それにともなう回転に対応して、粒子の座標も変換させたいです。

実現したいこと

上記の回転に対応して粒子の座標も回転させたいです。
ネットをさがしてもどれも回転角が分かって居る状態での変換方法だったのでここでお伺いしました。

よろしくお願いいたします。

補足情報（FW/ツールのバージョンなど）

python3.7

Comments

[ozwk]

> [0, 0, 1]というz軸が[ 0.78508819, -0.58677951, -0.19830868]に移動するような回転です。

そのような回転は複数考えられますが、すでについている回答のようにその中から適当に一つ選んで良いのですか?

例えば、回転後のz軸が回転前のx軸に重なるような回転は
y軸を軸として90度回転する方法と
[1,1,1]を軸として120度回す方法や
[1,0,1]を軸に180度回すなど無数に考えられます。

[fana]

同じ内容を他の言葉で言い換えると話がわかりやすいかもしれない．

基底変換したいです．
基底ベクトルの１つは与えられています．
でもこれだけだとできません．…ていう話．
↓
うん，だったら残りの基底ベクトルを適切に決めればよいだけの話ですよね．
で，何が「適切」なのかは外野には不明なので，質問するならばそこのところを説明する必要がある．
（まぁ，おそらくこれで良いのだろうけど，っていう決め方が既に回答されている様子だけども）

Answer 1

お使いの言語での効率の良い方法は存じませんので，純粋な計算方法の話に留まりますが…

[0, 0, 1]というz軸が[ 0.78508819, -0.58677951, -0.19830868]に移動するような回転です。

っていうのを，3x3回転行列を用いた変換式に愚直に突っ込んでみればわかりやすいでしょう．

[r11 r12 r13][0]   [0.785...]
[r21 r22 r23][0] = [-0.58...]
[r31 r32 r33][1]   [-0.19...]

[ 0.78508819, -0.58677951, -0.19830868]

というのを，{r13, r23, r33} の値にそのまま用いれば良いことが明確ですね．
↓
で，同様に，
その回転で「xはどこに行けば良いのか」あるいは「Yはどこに行けばよいのか」のどちらかを定めて，全く同じことをしてみれば，また回転マトリクスの対応する箇所の要素の値が埋まりますね．
↓
そしたらもう回転マトリクスの意味的に残りの要素は定まる（そこにはもう自由度はない）ので，それで終了です．
（「回転角」とか陽に考える必要はないです．）

質問文にはZの話しか出てきていないので「XやYについてどうなれば良いのか？」が不明ですが，きっと問題の背景事情的にはそこら辺の話は定まるのでしょうから，それに基づいて求めればよいです．

Comments

[fana]

ものすごくざっくり言うと，回転マトリクスってのは
「(0 0 1), (0 1 0), (0 0 1) が回転後にはどこに行けば良いんですかね？」っていう値を並べたもの．

※縦横を変えて読めば，
「回転したら (0 0 1), (0 1 0), (0 0 1) になるやつってのは，回転前はどこなんですかね？」っていう値を並べたもの．

[Lily_1007]

ありがとうございます。実際に回転行列のコードも作成してみました。

Answer 2

scipy.spatial.transform.Rotation を使う場合。

import numpy as np
import numpy.linalg as LA
from scipy.spatial.transform import Rotation as R

particles = np.array([
  [13.73374081, -1.31704426,  1.06994426],
  [13.73374081,  0.1249985,  -0.34463105],
  [13.73374081,  0.02886231,  0.30085477],
  [13.73374081,  0.08379728, -0.42703351],
  [13.73374081, -0.24581251,  0.1772511,],
  [13.73374081, -0.1084751,  -0.06995624],
  [27.46748161,  1.21683085, -0.51630282],
  [27.46748161,  1.24429834, -0.54377031],
  [27.46748161, -0.04667326,  0.0605143,],
  [27.46748161,  0.99709105, -0.76351017],
])
z_axis = [0, 0, 1]
p = [0.78508819, -0.58677951, -0.19830868]

# normal vector
axis = np.cross(z_axis, p)
axis = axis / LA.norm(axis)

# angle
inner = np.inner(z_axis, p)
norms = LA.norm(z_axis) * LA.norm(p)
rad = np.arccos(np.clip(inner/norms, -1.0, 1.0))

# rotate
rotation = R.from_rotvec(rad * axis)
rotated_particles = rotation.apply(particles)

print(rotated_particles)

Comments

[Lily_1007]

ありがとうございます。あとから回転行列の計算コードも作成してみて、melian様のコードの結果と合うことも確認できました。助かりました。