2×2のマス目がある。各ターンでは、上下左右静が、それぞれ1/5の等確率で行われる。崖に落ちずに行動できるターン数の期待値は?

Question

2×2のマス目がある。
左上を(0, 0)、そこからi個下、j個右にあるマスを(i, j)とする。
マスがない場所は全て崖であり、落ちると死亡する。

あなたは左上(0, 0)で開始する。
各ターンでは、上下左右に1マス動くか、静止するかが、それぞれ1/5の等確率で行われる。
崖に落ちずに行動できるターン数の期待値は?

Answer 1

こんばんわ。

どのマスにいても、崖から落下する確率は2/5なので、落下しない確率は3/5になります。

つまり、Nターン落下しない確率は (3/5)^N になります。

期待値E(N)を式で表すと、

E(N) = 1 * (3/5)^1 + 2 * (3/5)^2 + 3 * (3/5)^3 + ・・・・・・ + N * (3/5)^N となります。
N → ∞ のとき N * (3/5)^N → 0 となるので
E(N)は何らかの値に収束することが予想されます。

ここから先どうなるのかは、獣パンツさんにおまかせすることにしましょう。