スクリプトからならGetComponent<Camera>().nearClipPlane = 0.000001f;といった感じに小さな値を設定できて、どうやら10の-6乗くらいまでならプレイモードでエラーメッセージは出ないようでした。
ただ、やってみますとお分かりかと思いますが、Nearを小さくするほど、逆に遠方の描画が割を食って狂っていくはずです(前後関係を正しく描画できない、部分的に欠ける、など)。
NearとFarを極端にするほど、奥行き関連の描画不具合が生じるのは原理上仕方ないところがあって、ある程度は妥協が必要かと思います。
物体に近付いたときにニアクリップ面で描画が途切れるのをごまかすテクニックとして、カメラが物体に近付くほど滑らかに透明にして不自然さをやわらげる、といったものもあるようです(参考:AlphaClipsafe - Unify Community Wiki)。