normのordとaxisの役割がわからない

Question

normのordとaxisの役割がわからないです。
Cosine類似度をnumpyで表現したいです。

正解が

norm = np.linalg.norm(train_X, ord=2, axis=1)
normalized_train_X = train_X / norm[:, np.newaxis]

sample_1 = normalized_train_X[0]
sample_2 = normalized_train_X[1]
print(np.dot(sample_1, sample_2))

であるそうで、
このコードの一行目が

norm = np.linalg.norm(train_X, ord=2, axis=1)

理解できません。
このnormメソッドのordとaxisの役割がわからなく、
ord=2, axis=1はCosine類似度のどこを表現しているのでしょうか？
ord はnormの順番で、axisは何の役割なのか、ドキュメントを読んでもわからず....。（直訳するとord はnormの順番、ですが、それがどのような意味を持つのかわからず）
https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.linalg.norm.html
normのordとaxisの役割は何なのでしょうか？

Answer 1

まず、このコードの場合 入力データ(train_X) が 行列に

-	1	2	3	4	…	n
a	a1	a2	a3	a4	…	an
b	b1	b2	b3	b4	…	bn

のように格納されていると思われます。

上記の行列のノルムを求める場合導き方は大きく

• 行列ノルムを求める

行列全体のノルム

• 列毎のベクトルノルムを求める

(a1,b1),(a2,b2) … (an,bn) 毎のノルム

• 行毎のベクトルノルムを求める

(a1,a2,…,an) (b1,b2,…,bn) 毎のノルム

の３通りがあるわけです。
これを指定するのが axis です。axisがとる値は(0,1,None)で、
それぞれ
axis=None (又は指定無し) → 行列ノルムを求める
axis=0 → 列毎のベクトルノルムをとり行ベクトルを求める
axis=1 → 行毎のベクトルノルムをとり列ベクトル
となります。

今回の場合、ベクトルa,b 毎のノルムを求めたいので axis=1 となります。

次にordですが、これはノルムを算出するアルゴリズムを指定できます。

例えば、ベクトルノルムの場合はノルムの計算方法は
各要素の２乗和の平方根
で算出しますが、ord=3 を指定すると
各要素の３乗和の３乗根 で算出されます。
というように、ordに値Nを指定すると
各要素をN乗して和を取り、N乗根する
となります。

行列ノルムの場合は別の意味になります

個人的には、（ベクトルノルムの場合）デフォルトで ord=2 となっておりますので、通常は指定しないで使うことの方が多い気がします。

Answer 2

ord ：ノルム（対象）の次元数
axis：どの次元方向に和を取るか

以下がCosine類似度について、ほぼそのまま参考になるかと思います。
python(numpy)でL2ノルムが1になるようにする