円周率の求め方

Question

よく円周率を求めさせスーパーコンピューターの性能を測ると聞きますが
具体的にどのように円周率を求めているのでしょうか？
また誤りはあるのでしょうか？
ある場合はどのようにあってるか確かめるのでしょうか？

質問が多くてすいません。回答よろしくお願いします

Answer 1

使用アルゴリズムについてはここに一覧があります。
円周率.jp

現在の世界記録は、おそらく日本人と見られる匿名の houkouonchi さんの 13.3 兆桁で、使用アルゴリズムは Chudnovsky の公式のようです。

間違いは、他の計算結果と照らし合わせます。計算できているところまで全て一致していれば間違いないだろうということです。また、使用した計算方法が正しいと証明されており、その実装が正しいことがある程度の桁数の出力で確かめられていれば、全て確かめなくても正しい結果が出ていると言えます。

世界記録について間違えました。22,459,157,718,361 桁がありますね。アルゴリズムは同じです。

Answer 2

Wikipedia円周率の、マチンの公式がよく使われるようです。
arctan はテイラー展開で計算します。

Comments

[otn]

ああ、すいません。これはコンピューターで計算するときによく使われる公式と言うことで、先端のスーパーコンピューターだと違う公式かもしれません。

Answer 3

かつて、Windowsパソコンのベンチマークの指針としてスーパーπというソフトが使われていました(20年も前の話です)。Windows以外にも移植されていたようですので、スパコンのベンチマークの指針の一つに使えないことはなかったようです。たぶんこれのことでは無いかと思います。アルゴリズムとしてはガウス＝ルジャンドル法を用いているそうです。指定された有効桁数までは誤りはありません(プログラム等にバグがなければ)。

現在のスパコンでの性能比較はベンチマーク用に作られたプログラムを使って行われています。有名なところでは、TOP500、Graph500、HPCチャレンジなどがあります。変わったところで、エネルギー消費効率を見るというGreen500というのもあります。どんな計算なのかは全て公開されています(というよりも、ベンチマークソフトをソースごと公開しないと異なるアーキテクチャ・OS間でコンパイルできません)ので、興味があれば調べてみてください。

Answer 4

円周率を得るための級数公式にはいくつか種類があり、コンピュータによる計算の時は

• メインとなる公式で演算し、演算時間を算出する
• 別の公式で演算し、結果を上の結果と比較する（検算）

演算アルゴリズムが異なっても同じ結果が得られたなら、演算は誤りがないだろうという予測に基づいています。

Answer 5

実際にスーパーコンピューターの性能測定でどのような計算式が用いられているかは知りませんが、おそらくは無限級数の積和による公式のいずれかを使って解いていると思います。公開されている公式なのか非公式な計算式があるのかといったことは自分にはわかりません。

ちなみにたとえばこんな資料にも計算式の一例が載っています。(ナダのベリー，ボールウェイン，ブラウフのよって発見された公式と書いてあるのが使いやすそうな感じです)興味があれば自分で挑戦してみることも可能だと思いますよ。

少なくともそうした無限級数の和を用いる場合「何ケタまで計算するか」をあらかじめきめておくと途中の演算桁数に配慮することで望んだ桁数まで正確な結果が出せます。もちろん無限の精度を計算することはできません。

Answer 6

詳しい演算の仕方はわからないです。というより、それは公開できないはずです。

なぜならば、「性能を測る」ためのものなのですから、測定基準の詳細をバラしてしまえば、「それに特化したコンピュータほど性能の良いもの」となってしまいます。極端な話、十分な桁数まで事前に計算して記憶装置に格納しておき、「ベンチマーク時は、直ちにこれを出力する」だけのコンピュータが最も優れたものにすらなりかねません。

ただ、円周率は固定値であり、時間をかければそれだけ細かい値がわかるので、比較しやすいというだけのものだと思いますよ。ちなみに「超越数」と呼ばれる無理数なので、コンピュータ上で誤差なく表現することは不可能です。

追記します。
どうやら、ベンチマークにおける項目は定められているようですね。失礼しました。