Q&A
フィルタ: 側で
RとQに添え字tがついていないですけど時間変化すべきものではないでしょうか。
今カルマンフィルターを使おうとしており、ノイズを状態変数と同時に推定する方法を勉強しています。
最尤推定法で推定する方法はわかったのですが、リアルタイムで同時に推定したいと考えており、以下のURLで自己組織化型状態空間モデルの存在を知りました。これをカルマンフィルターに適用しようとしているのですが、計算方法がわかりません。
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jjsai/16/2/16_300/_pdf
https://staff.aist.go.jp/naoyuki.ichimura/research/nng_ssm/papers/sossm_cvim01july.pdf
添付の図のように各種条件を設定したのですが、このままだと手で計算してもxtに設定した2つのノイズ（システムノイズの分散と観測ノイズの分散）成分を求めることができません。具体的には更新しても当たり前ですが、値が変わらないです。GやFの設定が間違っている？、予測フィルタステップ以外にノイズを更新する手続きが必要？な気もしているのですが、よくわかっておりません。
もし具体的な手順をご存知であれば教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いいたします。
回答1件
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あまり深く検証してないんですがとりあえず、
カルマンフィルタでxtのノイズの分散成分が変化しないのは
H=(1 0 0)ですのでカルマンゲインのノイズの分散成分が0になるからですね。
「自己組織化型状態空間モデルを用いた運動軌跡のフィルタリング」
の方を読んでいくと
ノイズベクトルが状態に含めた超パラメータに依存するため，2.3 の状態空間モデルは非線形となる．
とあるので線形なモデルを前提とするカルマンフィルタでは計算できないんでしょう(適当ですみません)
投稿2021/09/14 02:35
総合スコア13553
ご回答ありがとうございます。
非線形であればヤコビアンを求める必要があると思いますが、FやHに変数があるわけではないので特に求めることができません。そもそもこの係数行列が間違っているんですかね。
でも上記の論文のFとHは同様の考え方なんですよね。他に特別な処理が必要な気しているんですが、それがわからないんですよね。
（カルマンフィルタは10年くらい前に一度触ったことがあるだけで，すっかり忘れてしまったので）
どの式が何なのかというところから「？」な状態の者です．
故に以下は全く見当違いな可能性が濃厚と思われ，その場合には無視するか罵倒するかしてください．
---
カルマンフィルタのノイズのパラメータは定数的に与えるようなものだったと記憶しています（そしてその設定の正解がさっぱりわからんという）．
それに対して，本件ではそれを変数として扱おう，ということなのかな，と．
であれば（素人考えでは），このノイズのパラメータも他の推定対象パラメータ(xか?)と同様の扱いにすることになるのかな？ とか．
すなわち
x_t が x_t-1 と「xに対するノイズ」から更新されるモデルであるように，
「ノイズのパラメータ」もまた，
時刻tでのそのパラメータの値が，時刻t-1での値と「そのパラメータに対するノイズ」から更新されるような式
みたいなのを何かしら用意して突っ込むことになるのでは．
（ノイズのパラメータに関して，時間方向の変化を速度とか加速度とかいう話に考えることはできそうもない(?)ので，「そのパラメータに対するノイズ」だけがノイズのパラメータを変化させる源になる…のかな？ でもこれだとどこまで行っても定数的に設定せねばならないハイパパラメータが減らない気がするが…）
で，そうなると（FなのかHなのかわからんのですが）行列のサイズも相応にでかくなることになるのではないでしょうか？（パラメータベクトルの次元を増やすのだから）
アドバイスまことにありがとうございます。
おっしゃる通りノイズをパラメータとして扱っているので、常に更新する式が必要だと思っています。
”時刻tでのそのパラメータの値が，時刻t-1での値と「そのパラメータに対するノイズ」から更新されるような式”というのが、図の中のFの２行目（システムノイズ）、３行目（観測ノイズ）とGに当てはまっていると考えております。
ハイパーパラメータのハイパーパラメータについては別途最尤推定法とかで決めてしまえば、いいのかなと思っておりました。
よくある ｛位置x，速度v，加速度a, ...｝ なモデル：
x += v * dt
v += a * dt
で，加加速度(?)とか加加加速度(??)とかまでは考えない(考えたくない)から，
どこかで打ち切って「a = a + ノイズ」的にしちゃうのと同じような扱いにならんのかな？ とか思ったのですが，話が全然違うのかも．
（あるいは，そういうふうにしたような…という記憶自体が間違いかも）
誠に失礼．罵倒願います．
@fanaさん
> そうなると（FなのかHなのかわからんのですが）行列のサイズも相応にでかくなることになるのではないでしょうか？（パラメータベクトルの次元を増やすのだから）
質問文ですでに入ってますよ。
1要素の状態ベクトルに観測ノイズとシステムノイズの2要素を追加して3要素で扱ってます。
（頭の中に何故か３次元空間があって，勝手に x がノイズ含まず状態で３次元と見てました）
僕の書き方が悪かったですね。ごめんなさい。
３次元ではなく１次元の簡単な時系列モデルです。
いや，どう考えてもそちらに落ち度は全くないと思います．
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