~x = -(x+1)になる理由？

Question

ビット演算子で ~x = -(x+1)になる理由がわかりません。2の補数や1の補数についてはなんとなく理解したのですが、単純にビットを反転させたら、値が-になる理由がわかりません。例えば ~10 が -11になる理由がわからないです。10 == 0b1010 のビットを反転させたら、0b0101 == 5 になると思うのですが。

-(x+1)==-x-1　なので -x-1 はxのビットを反転させたもの（＝1の補数）と同値であるなら 1の補数==2の補数-1 なので -x==2の補数 であると言えると思うのですが、-x がxの2の補数と同値であるのがなぜなのかわかりません。

Answer 1

10 = 0b1010 のビットを反転させたら、0b0101 = 5 になると思うのですが。

0b1010 を4ビット2の補数表現とみなすと、これは -6 です。ビット反転で 0b0101 = 5 になって、-(5+1)で-6ですね。

これは -x をxの2の補数を表現していると捉え、 -(x+1)=-x-1　なので、(xの2の補数)-1=(xの1の補数)なので-(x+1)はxのビットを反転させたものと同値と捉えられるのでしょうか。

そうですね。
2の補数というのは、足してオールゼロになる相手の数です。
ビット反転したものと足すとオール1になり、それに1足すとオールゼロになりますので、ビット反転して1を足したものが2の補数です。

Answer 2

10 = 0b1010

0b1010 は 4ビット 符号付き 整数なら-6です。

(実際はある程度のビット幅を持っているので10は0b00..01010です。)

Answer 3

0b1010とか書けるのは全桁書くのが面倒だからで、たとえば8bit整数型であれば0b00001010が正式な表記と考えられる訳です。で、ビット反転して0b11110101で、2の補数表現で-11になってますね。

10と-11を足すと0b11111111になり、これに1加えると0b100000000とかになりそうな気がしますが、桁が繰り上がっていて8bit整数型に収まらないので、けっきょく0b00000000です（考え方はこう、という話で、当然それを見越してCPUの加算回路から適切に実装されていないといけないのですが）。