ESP32ってのはマイコンのみ、ESP32-WROOM32はESP32とWiFi/BLEを集積したモジュール、銀色の四角い部品(とアンテナ部分を含む基板)単体のみのものです。それを基板に載せた製品はいろいろあって、ピン配置などは製品毎に異なります。ソフト的な話ならともかく、ハードが絡むときはESP32とだけ言われても、それだけでは充分な情報ではないことが多いです。
何か回路に問題があるのでしょうか?
質問の図は見た目ESP32-DevkitC(ESP32を出しているEspressifの標準開発ボード)のように見えますが、そうだとすれば質問の図で下側の列左端はCLK, その次はSD0で(他の機能もありますが)SDカード接続用の端子、決して電源の供給端子ではありません。焦電センサならともかく、そこにMP3モジュールやサーボモータなんか繋いだら...まぁ、破壊試験でもするつもりならそれでもいいですけれど、というレベルです。電池を新しくしても動かないということなら壊したかも知れませんね。
上側左端も、基板には"5V"と書いてありませんか? そこに9Vを繋いでも大丈夫だ、という自信はあるのですね? まぁ、とりあえず秋月に貼ってある回路図で見る限り、三端子の入力電圧は20Vまで、ケミコンが10V耐圧、LEDの電流制限抵抗が2KΩだからLED電流は4mA程度で壊れることはなさそうです。
とはいえ、3.3Vを作るのにシリーズレギュレータを使っていますから、9-3.3=5.7V分、約1/3は単に「熱」に変換されて無駄になっていることになります。
時間が経つと動かなくなりました。
9Vの電池(006P)は、要は小さな乾電池を6個パッケージに押し込めたものです。なので、発生できるエネルギーの総量が小さい、簡単に言えば「すぐに電池がなくなる」ものです。ESP32単体でも動作時50mAぐらい喰うし、WiFiやBLEの電源をOFFにしなければさらに100mAとか喰うようです(突入電流とかはまた別として...)。サーボモーターも結構電流を喰います。
つまり、俗に言う「電池がなくなった」という状態かと思います。
006Pの電流容量がどのくらい、というのの公式データはちょっと見つけられませんでしたが、実験をしている人のデータを見ると、1.6mAで300時間とか。160mAならその1/100、さらに電流が大きいと劣化も大きくなりますから、その辺との兼ね合いで
しょう。
単3とかであれば、パナソニックが参考データを出しています。
なるべく節電する方法はあるのでしょうか。
WiFiとかBLEはOFFにします(もうなっているかも知れませんが)。仕事をしない期間はsleep状態にします(この辺は頑張ってもサーポモーターを使っている時点で意味ないか...)。そもそも、やりたいことに対してESP32という選択がオーバースペックに思います。PICとかAVRとか、モジュールになっているものがよいならArduino Nanoとかその辺を使っておけばいいです。わざわざ電流消費の大きい高速なマルチコアのマイコンを選ぶ理由はありません。