【Python】行列における0以外の解の求め方

Question

前提・実現したいこと

Numpyを利用して，下記の「作成中コード」に記載の行列における0以外の解の求め方が分からず困っています．
求め方のアドバイスを頂けないでしょうか．

　※複素数の計算です．
※昨日，同様のコードで別のことを質問しています．
https://teratail.com/questions/281885
※定数は仮の数値を記載しているため，0以外の解はない可能性があります．

作成中のコード

import cmath
import numpy as np
import scipy 
from scipy.integrate import quad 

#積分1
def M(func, a, b, **kwargs):
    def real_func(r):
        return scipy.real(func(r))
    def imag_func(r):
        return scipy.imag(func(r))
    real_integral = quad(real_func, a, b, **kwargs)
    imag_integral = quad(imag_func, a, b, **kwargs)
    return (real_integral[0] + 1j*imag_integral[0], real_integral[1:], imag_integral[1:])


#複素積分計算1
def F_r2(func, a, b, **kwargs):
    def real_func(r):
        return scipy.real(func(r))
    def imag_func(r):
        return scipy.imag(func(r))
    real_integral = quad(real_func, a, b, **kwargs)
    imag_integral = quad(imag_func, a, b, **kwargs)
    return (real_integral[0] + 1j*imag_integral[0], real_integral[1:], imag_integral[1:])


#複素積分計算2
def F_r3(func, a, b, **kwargs):
    def real_func(r):
        return scipy.real(func(r))
    def imag_func(r):
        return scipy.imag(func(r))
    real_integral = quad(real_func, a, b, **kwargs)
    imag_integral = quad(imag_func, a, b, **kwargs)
    return (real_integral[0] + 1j*imag_integral[0], real_integral[1:], imag_integral[1:])


#複素積分計算3
def G_r2(func, a, b, **kwargs):
    def real_func(r):
        return scipy.real(func(r))
    def imag_func(r):
        return scipy.imag(func(r))
    real_integral = quad(real_func, a, b, **kwargs)
    imag_integral = quad(imag_func, a, b, **kwargs)
    return (real_integral[0] + 1j*imag_integral[0], real_integral[1:], imag_integral[1:])


#複素積分計算4
def G_r3(func, a, b, **kwargs):
    def real_func(r):
        return scipy.real(func(r))
    def imag_func(r):
        return scipy.imag(func(r))
    real_integral = quad(real_func, a, b, **kwargs)
    imag_integral = quad(imag_func, a, b, **kwargs)
    return (real_integral[0] + 1j*imag_integral[0], real_integral[1:], imag_integral[1:])


#数値は仮
r0 = 1
r1 = 1
r2 = 1
r3 = 1
vr2 = 1
beta2 = 1
n = 1
Q = 1
ganma = - Q / cmath.tan(beta2)
omega = 1 + 1j

A_M = M(lambda r: r2 / (r * (cmath.sin(beta2))**2), r2, r1)
A_F_r2 = F_r2(lambda r: cmath.exp((-1j* (omega * cmath.pi * (r**2 - r2**2) / Q - n * ganma * cmath.log(r / r2) / Q ))) * (r / r2)**(n + 1), r3, r2) 
A_F_r3 = F_r3(lambda r: cmath.exp((-1j* (omega * cmath.pi * (r**2 - r2**2) / Q - n * ganma * cmath.log(r / r2) / Q ))) * (r / r3)**(n + 1), r3, r3) 
A_G_r2 = G_r2(lambda r: cmath.exp((-1j* (omega * cmath.pi * (r**2 - r2**2) / Q - n * ganma * cmath.log(r / r2) / Q ))) * (r2 / r)**(n - 1), r2, r2) 
A_G_r3 = G_r3(lambda r: cmath.exp((-1j* (omega * cmath.pi * (r**2 - r2**2) / Q - n * ganma * cmath.log(r / r2) / Q ))) * (r3 / r)**(n - 1), r3, r2) 

#raund_theta算出
raund_theta = cmath.exp(-1j *(omega * cmath.pi * (r3**2 - r2**2) / Q - n * ganma * cmath.log(r3 / r2) / Q)) - ((n - 1) / r3 ) * 0.5 * A_G_r3[0]
    
#各種値計算
a11 = r2 * vr2
a12 = -1 * (1 - cmath.exp(-2* beta2 * 1j)) * ( 1j * r2 * omega / cmath.tan(beta2) - A_M[0] * n * omega )
a13 = -1 * r1**n * omega
a14 = -1 * omega / r1**n
a22 = (r2/r1) * (1 - cmath.exp(-2* 1j * beta2))
a23 = -1 * omega * r1**(n -1)
a24 = -1 * omega / r1**(n + 1)
a31 = (1j * omega - ganma /(2 * cmath.pi * r3**2) * 1j * n + Q/(2 * cmath.pi * r3**2)) * (0.5 * A_F_r3[0] - 0.5 * A_G_r3[0] - 1j * (r2 / r3)**(n + 1) * cmath.exp(-2 * 1j * beta2) * (-1j *((0.5 * A_F_r2[0]) + (0.5 * A_G_r2[0])))) + Q/(2 * cmath.pi * r3) * (raund_theta + 1j * (n + 1) * r2**(n + 1) / r3**(n + 2) * cmath.exp(-2 * 1j * beta2) * (-1j * ((0.5 * A_F_r2[0]) + (0.5 * A_G_r2[0]))))
a32 = (1j * omega - ganma /(2 * cmath.pi * r3**2) * 1j * n + Q/(2 * cmath.pi * r3**2)) * (-1j * (r3 / r2)**(n - 1) - 1j * (r2 / r3)**(n + 1) * cmath.exp(-2 * 1j * beta2)) + (Q/(2 * cmath.pi * r3)) * (-1j * (n - 1) * r3**(n - 2) / r2**(n - 1) + 1j * (n + 1) * r2**(n + 1) / r3**(n + 2) * cmath.exp(-2 * 1j * beta2))
a43 = omega * r0**(n - 1)
a44 = -1 * omega / r0**(n + 1)

#行列計算

A = np.matrix([
    [a11, a12, a13, a14],
    [  0, a22, a23, a24],
    [a31, a32,   0,   0],
    [  0,   0, a43, a44]
])

B = np.matrix([
    [0],
    [0],
    [0],
    [0]
])

x = np.linalg.solve(A, B)

print(x)

###出力

[[ 0.+0.j]
 [-0.+0.j]
 [-0.+0.j]
 [-0.+0.j]]

試したこと

Sympyにて連立方程式のコードを試そうとしましたが，Numpyとの併用の仕方が分からず断念しました．
具体的には，複素数計算にて生じる虚数の表現方法が異なる点の取り扱いが分かりませんでした．
ただ，本件が分かったところで解けたかは分かりません．

Answer 1

現状の行列Aは|A|は0でなく逆行列を持ちますので、自明解(x=0)しか持ちえません。
非自明解を持つには|A|=0としなければなりません。

なお、|A|=0であっても、Ax=bで表される連立方程式については、擬似逆行列を使うことで解を得ることができます。
numpyにおいて擬似逆行列はnp.linalg.pinv(A)で求められます。

Comments

[Masa06]

返答が遅くなってしまい失礼しました．
ご回答いただきありがとうございます．

擬似逆行列を利用して解決しようと思います．