指定秒数で指定距離に到達する加速度がマイナスの等加速度直線運動のような移動を求めたい

Question

Unityで移動する処理を作っています。
オブジェクトが指定位置に移動する処理なのですが、表題の通り、ただ移動するだけではなく、このようなあらかじめ定められた距離に対して、速度が減衰して、到達する処理を求めたいと思っております。
初速が大きく、徐々に減衰して、指定時間後に指定距離移動する処理がうまく求められないでいます。
具体的には、添付gifの初速度=10のときに、折り返さないで位置に到達するようにしたいです。
等加速度直線運動の公式から、s=v0t＋1/2at^2を利用して、加速度aを求めましたが、それだけではだめなようです。

ご教授いただければ幸いです。

### 該当のソースコード
```C#
public class Test : MonoBehaviour
{
    public float t;
    public float initSpd;
    public Transform t1, t2;

    IEnumerator Start()
    {
        var p = t1.position;
        while (true) {
            t1.position = p;
            var v0t = initSpd * t;
            var distance = Vector2.Distance(t1.position, t2.position);
            var direction = (t2.position - t1.position).normalized;
            var a = (2 * (distance - v0t)) / (t * t);
            var v = initSpd;
            // 指定秒数間、繰り返し
            yield return Utils.Coroutine.WhileForSeconds(t, () =>
            {
                t1.Translate(direction * v * Time.deltaTime);
                v += a * Time.deltaTime;
            });
        }
    }
}
```

時間=3, 初速度=0
![イメージ説明](463bba4d9784d24c8b5dbc8ac4b52f2f.gif)
時間=3, 初速度=3
![イメージ説明](79700d66f0b663c9670d50c7cf6ee0a1.gif)
時間=3, 初速度=10
![イメージ説明](ebaba98d54e8742ffa68febf7c3e1a97.gif)

追記：ボールはこのようにカーブすることもあります。
赤い線が距離になります。適切なマイナス加速度"a"が求められれば、あとは毎フレーム方向を変えるだけと考えておりました。達成したいことは、指定した時間に、減衰していく速度で、ランダムな方向に移動し、初期の2点間の距離分移動したいです。
![イメージ説明](a97ec73e16440e9e8bc4c6fac352cfad.jpeg)

Accepted Answer

> 等加速度直線運動の公式から、s=v0t＋1/2at^2を利用して

それで求められるのは「指定時間後に指定距離移動する」軌道です。
そして見たところそれは正しく実現できています。
加えて「折り返さないで」、つまり終点での速度が0という条件ですが、加速度一定では「指定時間後」か「終点で速度0」のどちらかしか満たせません。
等加速度でなくてよいとのことなので、適切な加速度変化を求める式を作ってください。
カーブについてはとりあえず無視するとして、
到達時刻と終点の速度0の2つの条件を立式して、例えば加加速度一定・初期加速度任意の条件を付ければ、加加速度と初期加速度の2つの未知数で1通りの解が出ると思います。
微積分はできますか?

Answer

速度を2段階変化させることで理想の挙動を得ることができました。
ありがとうございました。
```C#
IEnumerator Start()
{
	var p = t1.position;
	while (true)
	{
		t1.position = p;
		var direction = (t2.position - t1.position).normalized;
		var distance = Vector2.Distance(t1.position, t2.position);

		var v0 = initSpd;
		var M = distance;
		var T = duration;
		var tm = M / v0;
		var vm = v0 / T * tm;
		var accel1 = (vm - v0) / (tm - 0);
		var accel2 = (0 - vm) / (T - tm);
		Debug.Log($"vo={v0}, M={M}, T={T}, tm={tm}, vm={vm}, accel1={accel1}, accel2={accel2}");
		var v = initSpd;
		var stime = Time.time;
		var hist = 0f;
		// update
		yield return Utils.Coroutine.WhileForSeconds(T, () =>
		{
			t1.Translate(direction * v * Time.deltaTime);
			hist += v * Time.deltaTime;
			if (Time.time - stime <= tm)
				v += accel1 * Time.deltaTime;
			else
				v += accel2 * Time.deltaTime;
		});
		Debug.Log($"経過時間={Time.time - stime}, 移動距離={hist}, v={v}");
	}
}

```

Answer

いろいろと質問して面倒をおかけした手前、私からも何か案を出したいと思って検討してみました。
発射前の時点であらかじめ経路曲線を決定してしまい、そこを指定時間かけて辿る...という方針ですが、いかがでしょうか?

投射物には下記のようなスクリプトをアタッチしており、インスペクター上で移動時間・初速度ベクトル・目的地を設定しておきます。
また、移動自体には関係ないのですが、デバッグ目的で時間・速さ・距離を画面上に表示させるためのTextをセットしています。

C#
1using System.Collections;
2using System.Collections.Generic;
3using System.Linq;
4using UnityEngine;
5using UnityEngine.UI;
6
7public class DecelerationMotion : MonoBehaviour
8{
9    [SerializeField] private Text timeIndicator; // 経過時間表示
10    [SerializeField] private Text speedIndicator; // 速さ表示
11    [SerializeField] private Text travelIndicator; // 進行距離表示
12
13    [SerializeField] private float duration = 5.0f; // 移動時間
14    [SerializeField] private Vector3 initialVelocity = new Vector3(0.0f, 10.0f, 0.0f); // 初速度
15    [SerializeField] private Transform target; // 目的地
16
17    private IEnumerator Start()
18    {
19        // スタート地点
20        var origin = this.transform.position;
21
22        // ゴール地点
23        var destination = this.target.position;
24
25        // 移動時間をチェックする
26        // 移動時間が0だと計算不能なので、位置を即座に目的地に移動して終わる
27        if (this.duration <= 0.0f)
28        {
29            this.transform.position = destination;
30            yield break;
31        }
32
33        // 初速度の向きが目的地の向きを向いていないときに経路を曲げてみせるための
34        // コントロールポイントの位置を決める
35        // このとき、スタートとゴールを結ぶ直線に垂直な平面を超えないように位置を制限して
36        // 目的地を通り過ぎてから後戻りする経路にはならないようにする
37        var controlPointVector = this.initialVelocity;
38        if (new Plane(origin - destination, destination).Raycast(
39            new Ray(origin, controlPointVector),
40            out var enter))
41        {
42            controlPointVector = Vector3.ClampMagnitude(controlPointVector, enter);
43        }
44
45        var controlPoint = origin + controlPointVector;
46
47        // 経路の長さを求め、確認のために長さをコンソールに出力してみる
48        var pathLength = MeasurePathLength(origin, controlPoint, destination);
49        Debug.Log($"Path length for {this.target.name} : {pathLength}");
50
51        // 初期速さをチェックする
52        // もしそれが経路上を目標時間かけて等速運動するときの速さよりも遅い場合、スタート後の速さは
53        // 遅くなる一方なので時間内に到着できないはず
54        // そこで初期速さの最低値は等速運動時の速さとする
55        var linearSpeed = pathLength / this.duration;
56        var initialSpeed = Mathf.Max(this.initialVelocity.magnitude, linearSpeed);
57
58        // この方式の曲線では、経路上の位置を求めるためのパラメーターと経路上の進行距離が比例しない
59        // そこで、後でそのズレの補正に使う進行距離テーブルを作っておく
60        var progressTable = GetProgressTable(origin, controlPoint, destination).ToList();
61
62        // 線形の位置パラメーターを変調させて、initialSpeedから減速していく非線形の変化に変えるためのパラメーターを求める
63        var progressExponent = (initialSpeed * this.duration) / pathLength;
64
65        // アニメーションを行う
66        // 動かす上でtravelやcurrentPositionは不要だが、動きのデバッグのため用意した
67        var time = 0.0f;
68        var travel = 0.0f;
69        var currentPosition = origin;
70        while (time < this.duration)
71        {
72            yield return null;
73
74            var deltaTime = Time.deltaTime;
75            time += deltaTime;
76
77            // まず時間経過とともに線形の動きをする進行率を得て...
78            var rawNormalizedProgress = Mathf.Clamp01(time / this.duration);
79
80            // それを非線形の動きに変調させ...
81            var normalizedProgress = 1.0f - Mathf.Pow(1.0f - rawNormalizedProgress, progressExponent);
82
83            // 進行距離テーブルを参考にして進行パラメーターを得る
84            var progressParameter = GetProgressParameter(normalizedProgress * pathLength, progressTable);
85
86            // 進行パラメーターと対応する曲線上の点をサンプリングし、そこを次の位置とする
87            var nextPosition = EvaluatePosition(origin, controlPoint, destination, progressParameter);
88            var deltaPosition = nextPosition - currentPosition;
89            currentPosition = nextPosition;
90            this.transform.position = currentPosition;
91
92            // 参考情報として、経過時間・現在の速さ・進行距離を画面上に表示する
93            var deltaTravel = deltaPosition.magnitude;
94            var speed = deltaTravel / deltaTime;
95            travel += deltaTravel;
96            this.timeIndicator.text = time.ToString("F2");
97            this.speedIndicator.text = speed.ToString("F2");
98            this.travelIndicator.text = travel.ToString("F2");
99        }
100    }
101
102    private static Vector3 EvaluatePosition(Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, float t)
103    {
104        var it = 1.0f - t;
105        var f0 = it * it;
106        var f1 = it * t * 2.0f;
107        var f2 = t * t;
108        return (p0 * f0) + (p1 * f1) + (p2 * f2);
109    }
110
111    private static float MeasurePathLength(Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, int loopCount = 1024)
112    {
113        var length = 0.0f;
114        var currentPosition = p0;
115        for (var i = 1; i <= loopCount; i++)
116        {
117            var nextPosition = EvaluatePosition(p0, p1, p2, (float)i / loopCount);
118            length += (nextPosition - currentPosition).magnitude;
119            currentPosition = nextPosition;
120        }
121
122        return length;
123    }
124
125    private static IEnumerable<float> GetProgressTable(Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, int loopCount = 1024)
126    {
127        var length = 0.0f;
128        var currentPosition = p0;
129        for (var i = 1; i <= loopCount; i++)
130        {
131            var nextPosition = EvaluatePosition(p0, p1, p2, (float)i / loopCount);
132            length += (nextPosition - currentPosition).magnitude;
133            currentPosition = nextPosition;
134            yield return length;
135        }
136    }
137
138    private static float GetProgressParameter(float progress, List<float> progressTable)
139    {
140        if (progress <= 0.0f)
141        {
142            return 0.0f;
143        }
144
145        var searchResult = progressTable.BinarySearch(progress);
146        if (searchResult >= 0)
147        {
148            return (float)(searchResult + 1) / progressTable.Count;
149        }
150
151        var upperIndex = ~searchResult;
152        if (upperIndex >= progressTable.Count)
153        {
154            return 1.0f;
155        }
156
157        var lowerIndex = upperIndex - 1;
158        var upperValue = progressTable[upperIndex];
159        var lowerValue = lowerIndex < 0 ? 0.0f : progressTable[lowerIndex];
160        return (lowerIndex + 1 + Mathf.InverseLerp(lowerValue, upperValue, progress)) / progressTable.Count;
161    }
162}

durationを5秒、initialVelocityを(0, 1, 0)とした場合の動きは下図のようになりました。
Target1は発射地点の上方5mに位置しており、採用された経路は2点を直線で結ぶ形となっています。初期速さが1m/秒なので、移動時間5秒では減速できる余地がなく等速直線運動になっています。一方、それ以外のターゲットは経路の長さが5m未満なので減速の余地があり、次第に動きがゆっくりになっています。とはいえ、経路の長さが限界長さ5mと比べてさほど余裕があるわけではありませんので、比較的等速に近い動きになっています。

一方、durationは5秒のままで、initialVelocityを(0, 5, 0)とした場合の動きは下図のようになりました。
減速の余地が大きくなったので、だいぶ強烈な緩急が付きました。経路曲線も初速度ベクトルの方角に引きつけられてたわみが大きくなっています。しかし今回使用した曲線は比較的シンプルな2次ベジェ曲線ですので、特に左下のターゲットで顕著ですが経路曲線のカーブがけっこう鋭くなってしまいました。ご提示いただいた図のような円弧に近い軌道ではなくなってしまいすみません...

該当のソースコード

関連した質問