第3回アルゴリズム実技検定の「C-等比数列」について

Question

AtCoderの第3回アルゴリズム実技検定の「C-等比数列」の問題についてです。

【問題文】
初項A、公比Rの等比数列の第N項が10^9より大きければlargeを、10^9以下ならその値を整数で出力してください。

【制約】
入力はすべて整数
1 ≦ A,R,N ≦ 10^9

下のコードがタイムアウトになるようなテストケースがいくつかあるようなので、どのような例でそうなるのか教えてほしいです。
正しい解答ではR=1の時とN≧31の時を分岐していますが、intに上限がないPythonでその分岐が必要な理由が分かりません。

A,R,N = map(int, input().split())
ans = A*R**(N-1)
if ans > 10**9:
  print('large')
else:
  print(ans)

Comments

[tiitoi]

ar^{n - 1} と 10^9 を常用対数を取れば、r^{n- 1} を計算しなくても済むのではないでしょか

Answer 1

Nが10^9というべらぼうに大きい数字になっているテストケースでTLEすると思われます。
とても大きいNに対して、そのN-1回分かけて調べればいいかというとそういうわけではありません。
大きいNに対しては、何回かければlargeかどうかがわかるのかというと、2を30回かけると10^9程度なので、2以上の数を31回かけると必ず10^9を超えてしまうことがわかります(答えがlargeになる)
答えがlargeになった時点でさらに掛け算してもlargeなので、largeとわかった時点で切ってしまえばいいわけです。
N-1, もしくは31のどちらか小さい方の回数だけ掛け算すればいいです。

追記)実装例です。

A, R, N = map(int, input().split())
ans = A*R**(min(N-1, 31))
if ans > 10**9:
    print('large')
else:
    print(ans)

Answer 2

実際の値を計算する前に大きいかどうかの判定をする

以下で通りました。

import math
 
A, R, N = map(int, input().split())
 
if math.log10(A) + (N - 1) * math.log10(R) > 9:
    print("large")
else:
    print(A * R ** (N - 1))

正しい解答ではR=1の時とN≧31の時を分岐していますが、intに上限がないPythonでその分岐が必要な理由が分かりません。

int に上限がないことと、計算時間がかかりすぎて AtCorder 側でタイムアウトになるのは別の問題だと思います。

Answer 3

計算する桁が増えれば、計算時間は増えます。
あまりに大きな数を計算しようとすれば、制限時間の2秒に間に合わなくなるので、大きな数を計算しないようにしなければならないです。

Answer 4

intに上限がないPythonでその分岐が必要な理由が分かりません。

AtCoderはご承知の通りPython以外、多数の言語で挑戦することが可能です。ですので言語仕様によってintに上限があるものもあります。そういったものに対応するためのテスト的な問題と思われます。

Answer 5

多倍長整数の演算の場合、桁数に比例するレベルの計算量が必要になると考えておいたほうがいいです。
ansの桁数が最大で何桁になるか考えるとタイムアウトは当然でしょう。