画像処理に使われるフーリエ展開に関して

Question

画像処理に使われるフーリエ展開の式に関して質問があります。
フーリエ展開の式には、a0はあるのに、なぜb0がないのでしょうか？

ちなみに、こちらの画像はどのような計算過程で上の式から下の式になったのでしょうか？

後、もう一個だけお聞きしたいのですが、
本来フーリエ級数展開はグラフの数式がわかったうえで使うはずですが、この動画の6:24の部分ではグラフはあるもののグラフの数式はありません。推測になってしまうかもしれませんが、何かしらの方法で数式を作ってからフーリエ余弦展開を作ったのでしょうか？
こちらは動画のURLです

Answer 1

b0に対応するのはsin0 = 0だからです

Comments

[退会済みユーザー]

ありがとうございます。
あの、aに関しては
a0の時cos0になりますが、
cos0は1なので良いという事でしょうか？

[ozwk]

まあそうです

ところでうっかり答えてしまいましたが、
数学の話なんでteratailてやることじゃないです。

[退会済みユーザー]

すいません、画像処理を勉強していまして、OPENcvと同時に数学も勉強していたため質問してしまいました。
お応えしてくださりありがとうございます。
ただ、b0があったとしても0になって消えるだけなので、b0を加えてもいいのかななんて考えてしまいました。やはりどうしてもb0はつけてはいけないのでしょうか？

[ozwk]

付けていけないことはないですよ？

[退会済みユーザー]

付いていても問題ないのですね！どうもありがとうございます。

[ozwk]

いやだってあってもなくても結果変わらないじゃないですか。
漢字の書き取りじゃないんですよ？

[退会済みユーザー]

はい、すいません。
あの、編集後に付け足した動画に関してのフーリエの問題にどうかお応えして頂けないでしょうか。

[ozwk]

5:59あたりから説明あるとおりでは？
（点列を作って積分は区分求積法で求めた）

Answer 2

a0, b0についての話は想像がつきますが一応数式を提示してもらいたいですね。
ozwkさんのおっしゃる通りsin側だと計算した結果消えるからってのが答えです。

計算過程のやつは両辺にsin(mπ/a)xを掛けて-a～+aの範囲で積分すると、右辺に関してm=n以外の場合がバッツリ消えるので計算して式変形すると最終的にその形に変形できます。
計算自体はご自分で確認してほしいのですが、消える理由は
cos(α-β)-cox(α+β)=2sinαsinβ
として1周期積分すれば分かり易いですね。
あとはまぁsin^2の積分を頑張るのと積分範囲と奇関数の関係を考えるのとをやればできるはずです。

最後の動画のやつですが、あれは離散フーリエ変換(というか離散コサイン変換)を調べてみると良いでしょう。
すごく簡単に言えば、対象が離散信号なので積分が和で扱われており、各点を処理しているだけなので関数としての表現がいらないという感じです。