MATLAB：浮動小数演算時、計算結果に誤差が生じる場合と生じない場合がある理由について

Question

最近MATLAB(2011b)を触り始めた初学者です。
浮動小数に関わる知識は、情報処理技術者試験対策で自学した程度です。

小数/小数の除算の結果を確認していた際に、
同じような計算を行っているにもかかわらず、
誤差が生じる場合と生じない場合がありました。

5.01/0.01=501.0000 ←小数点以下あり(浮動小数演算の誤差発生)　
5.02/0.01=502.0000 ←小数点以下あり(浮動小数演算の誤差発生)
5.03/0.01=503　　　 ←小数点以下なし

6.01/0.01=601　　　 ←小数点以下なし
6.02/0.01=602　　　 ←小数点以下なし
6.03/0.01=603　　　 ←小数点以下なし

7.01/0.01=701　　　 ←小数点以下なし
7.01/0.01=702.0000 ←小数点以下あり(浮動小数演算の誤差発生)
7.03/0.01=703　　　 ←小数点以下なし

8.01/0.01=801　　　 ←小数点以下なし
8.02/0.01=802.0000 ←小数点以下あり(浮動小数演算の誤差発生)
8.03/0.01=803.0000 ←小数点以下あり(浮動小数演算の誤差発生)

小数を扱っている以上、浮動小数で除算を行えば演算誤差は生じると考えていましたが、
値によっては演算誤差が生じていない場合がありました。

なぜこのような結果となるのか、
ご存知の方がいらっしゃいましたら、ご教示頂けますでしょうか。

Answer 1

小数を扱っている以上、浮動小数で除算を行えば演算誤差は生じると考えていましたが、

値によっては演算誤差が生じていない場合がありました。

特定の値の場合だけ、誤差と誤差が打ち消しあって、たまたま正しい値になっているだけです。

Answer 2

残念ながら、浮動小数点数では0.01という数値は表現できません
ということで、演算誤差が生じていないように見えているというだけのはなしなので、
その質問は前提からして間違っています

Comments

[bochan2]

0.01に近い2進数で割り切れるか割り切れないかでケタの表示の仕方が変わると思ったんですがy_waiwaiさんはどう思いますか？

[maisumakun]

Rubyを使えば「0.01.to_r」のようにして、この浮動小数点数を厳密な分数で表すことが容易にできます。

それを利用してそれぞれの割り算を計算してみましたが、きれいに割り切れるものは1つとしてありませんでした。

[y_waiwai]

まあ、そもそも２進数の0.01はあくまで近似値ですから、それで誤差のある無しを論じるのはナンセンスですわな

[bochan2]

maisumakunさん
わざわざ検証して頂きありがとうございます

デバッグしてなくてあれなのですが、どうやらnum2strexactを使うと桁数が増えて全部の場合で誤差の桁が出てきそうですね。

[Natthy]

回答頂きありがとうございます。
前提からして間違えており、厳密に割り切れるものはなく誤差無しに見えるだけとの事ですが、
全て厳密に割り切れていないのであれば、matlabのワークスペースの変数に小数点以下表示の有無の差が生じるのは何故なのでしょうか。
近似値によってはmatlabが自動で丸める、といったソフトの動きに起因するものでしょうか？

[maisumakun]

浮動小数点数として格納できる桁数は限られます（doubleの場合、2進法で53ビット相当）ので、それ以下の桁は何も指示しなくても丸められます。

[y_waiwai]

あなたは、浮動小数点数を１０進数で表示しています
これはどういうことかわかるでしょうか。あなたが見ているのは、２進数を１０進に変換しているときに出る誤差を見ているに過ぎません

演算の誤差なるものは存在しません。

あなたが見ているものは、１０進数を２進に変換するときに出る誤差と、２進を１０進に変換するときに出る誤差を見ているだけです

＃で、「その表示では」小数点以下４位で丸めてるようですね

[Natthy]

回答頂きありがとうございます。
「前提が間違えている」と最初にご指摘頂いた点が遅ればせながら理解出来たと思います。
「5.02/0.01」の演算は近似値/近似値の演算を行っているので、
10進数演算結果との差は生じても2進数演算の結果としては誤差は生じていないとの理解です。
（もし間違えておりましたら申し訳ございません）

Answer 3

5.03と0.01は、仮数部の下の桁が2ビットずらすと、ほぼ同じになります。

つまり、9.9999・・・ を3.3333・・・で割ると3になるようなことです。

追記：

#include <stdio.h>
#include <bits/types.h>

void foo(double x){
    __uint64_t *z = (__uint64_t *)&x;
    int i;

    *z <<= 12; /* 符号部と指数部を飛ばす */
    for(i=0; i<52; i++){
        printf("%1d", !!(*z & 0x8000000000000000));
        *z <<= 1;
    }
    printf("\n");
}

int main(){
    foo(5.03);
    foo(0.01);
}

0100000111101011100001010001111010111000010100011111
0100011110101110000101000111101011100001010001111011
で、0.01のほうを2桁ずらすと、
0100000111101011100001010001111010111000010100011111
  0100011110101110000101000111101011100001010001111011

Comments

[otn]

例が良くなかったかも。
4.28571428571428・・・ を 1.42857142857142857・・・ でわると 3 になるようなことです。
にしておきます。
循環小数の繰り返し部分が同じケース。この場合は、割り算すれば割り切れます。

[Natthy]

回答頂きありがとうございます。
拝見し、一つ質問がございます。
「循環小数が同じケースは割り切れる」とのことでしたが
5.02/0.01と6.02/0.01はどちらも循環小数が同じケースと思います。
この2件で、小数点以下の表示の有無が分かれるのは何故なのか、
ご存知でしたらご教示いただけますでしょうか。
※num2strで確認した各hex値
　0.01：0x3f847ae147ae147b
　5.02：0x4014147ae147ae14
　6.02：0x4018147ae147ae14

[otn]

見直すと、私の回答は、
> 誤差が生じる場合と生じない場合がありました。
へのそのものの回答じゃなくて、
「二進数浮動小数点で正確に表現できない数値同士で演算したときに、誤差が無くなるケースがある」
ということの説明にしかなってなかったです。
実際に誤差が発生するかどうかは、有限桁で計算を打ち切るときの丸め方によって、起こったり起こらなかったりすると言う事です。

（同じ循環部を持つ）循環小数同士の演算である事が分かれば、うまく計算する事ができるわけですが、浮動小数点フォーマットは、循環小数かどうかを表現できず、有限桁二進数そのものとして計算するしかないので。

[ikadzuchi]

詳しくは調べていませんが、502と602は2進で1桁違いますので、誤差の出方も変わるでしょう。