シーン間でのスコア持ち越しとDontDestroyOnLoadについて

まず、SingletonMonoBehaviorは標準ライブラリに無いため、どのSingletonMonoBehavior実装であるかがわからないと正確なところがわかりません。後は推測で書きます。

1. 普通ならAwakeをoverrideして、その中でDontDestoryOnLoad()を呼び出せばOKです。起きている現象は、変な場所でDontDestoryOnLoadを呼び出しているからかと思います。実装を見直してください。(DoTweenが勝手にDontDestoryOnLoadを呼び出してはいないです)
2. 普通の実装なら、static ScoreManager Instanceなどが定義されているので、ScoreManager.InstanceでScoreManagerのインスタンスがどこでも取得出来ます。DontDestoryOnLoadが変なところで呼び出される実装を修正すれば普通にあとはScoreManagerのフィールドまたはプロパティとして保持すれば良いかと思います。

public class ScoreManager : SingletonMonoBehaviour<ScoreManager>
    public int Score{get;set;}
    //継承元のAwake実装がvirtualになっていない場合、virtualに変更する必要があります。
    protected override void Awake()
    {
        base.Awake();
        if(Instance == this) {
            DontDestoryOnLoad(this.gameObject);
        }
    }
}

//他からの呼び出し
Debug.Log(ScoreManager.Instance.Score);

追加です。
DoTweenが、DoTweenComponentクラスをDontDestroyOnLoadの状態で生成していました。失礼しました。

ただ、DoTween 無償版 1.1.640で以下のようなコードを適当なオブジェクトにアタッチし実行しましたが、DoTweenComponentが複数作られる現象は確認出来ませんでした。

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;
using DG.Tweening;

// 適当なアニメーション中にシーンをロードし直すスクリプト
public class DoMove : MonoBehaviour {

    void Start () {
        DOTween.Init();      
        // 10秒間のアニメーション
        transform.DOMove(new Vector3(2, 0, 0), 10f).Play();      
        StartCoroutine(ReloadScene());
    }

    IEnumerator ReloadScene()
    {
        // 3秒後にシーンをLoadし直す = Animation終了前にシーン遷移
        yield return new WaitForSeconds(3);
        UnityEngine.SceneManagement.SceneManager.LoadScene("Main");
    }

}

DoTween自体を普通に使う分には起きない現象だと思いますので、DoTweenの使い方を見直して見たほうが良いかと思います。

DoTweenで生成されるDontDestroyOnLoadを判別できる方法があればご教示ください。

こちらも一応、判別方法というか取得方法を書いておきますが、根本原因を治すほうが良いので推奨はしません。

var doTweenComponents = GameObject.FindObjectsOfTypeAll(typeof(DG.Tweening.Core.DOTweenComponent));

で全てのDOTweenComponentが取得できるので、後は一つを残してDestroyすれば良いです。

もしかして質問者さんは現在この画像のような状態になっていることを質問文でおっしゃっているのでしょうか？

もしそうであるならば前提の認識が間違っています。
この画像にある「DontDestoryOnLoad」はGameObjectではなく、
"[DOTween]ゲームオブジェクトがDontDestroyOnLoad状態になっている"ことを示す目印に過ぎません。
なのでDOTweenを使用していればこの状態になるのはおかしいことではありません。

その上で質問の回答なのですが、

１．についてはそのままです。ScoreManagerにDontDestroyOnLoadを記述して下さい。
(書き方は探せばたくさん出るので参照して下さい。と言っても一行書くだけですが)

２．はDontDestroyOnLoad状態にしたScoreManagerを他のスクリプト内で探して呼び出してください。
私は

GameObject ScoreManagerObject;
ScoreManager scoreManager;
ScoreManagerObject= GameObject.FindGameObjectWithTag("scoreManager");
scoreManager= ScoreManagerObject.GetComponent<Data_cabinet>();

のようにGameObject.FindGameObjectWithTagを使って、
他のスクリプト内でscoreManagerを呼び出せるようにしています。
「Unity 別のスクリプト」で調べればもっと詳細な情報が出ると思います。

DontDestroyOnLoad状態だと増える一方のスクリプトの消し方は
SingletonMonoBehaviorが使えそうな気がしますが、何を参考にしてSingletonMonoBehaviorを書いたのかが提示されていないのでそこはすみませんが分からないです。