scipyのcurve_fitについて

Question

実現したいこと

(直交座標系の)曲線に対して対数螺旋近似して、 r = e^(bθ)のbを算出したい。

前提

手元に直交座標系(2次元)の曲線があります。
これを対数螺旋(極座標系で) r = e^(bθ)に近似したいのですが、関数を直交座標系にするとf(x,y)の形にできません。
scipy.curve_fitだと直交座標系しか適用できなさそうですが、何か知見があればご教授いただけないでしょうか。
自己相似の問題もあるため 0 ≦ θ ≦ π/2で定義しようと思っています。
が、ここの実装方法も思いつかないため、scipyの近似曲線の定義域についての知見もありましたら、併せてご教授ください。

直交座標系と極座標系の変換については理解しているつもりです。

ソースコードもなく大変恐縮ですが、何卒よろしくお願いいたします。

Answer 1

• 直交座標系の曲線データから極座標系へ変換できる
• 角度の範囲は 0 ≦ θ ≦ π/2 限定

という制限内であれば、非線形最小二乗法にて極座標系での近似曲線の係数を求めることができそうです。
以下のテストコードでは、直交座標系の曲線データの極座標系での中心は既知（＝原点）であるとしています。
参考：scipy.optimize.minimizeの使い方

なお、以下は参考まで。

Fit logarithmic spiral to x,y data
MATHEMATICAでそのものズバリの関数を作成している方がいるようです。ソースも探せばどこかにありそうです。

Fitting parametric Spiral Function to Data Points
これもMATLABでちゃんと読めてませんが、おそらく原点や角度の制限なく求める方法について記載されています。

import numpy as np
import scipy.optimize as optimize
import matplotlib.pyplot as plt

# 対数螺旋
def func(t,b):
    return np.exp(b*t)

# residual function
def ls_res(param,t,r):
    residual = r - func(t,param[0])
    return residual

np.random.seed(110)

# 理想値：極座標
bi = 0.123
ti = np.radians(np.arange(0,90,1))
ri = func(ti,bi)
# 理想値：直交座標
xyi = np.array((np.sin(ti)*ri,np.cos(ti)*ri)).T

# 観測値：直交座標
xyo = xyi * (0.2*np.random.rand(*xyi.shape)+0.9) # 少し乱す

# 観測値を極座標に
ro = np.sqrt((xyo**2).sum(axis=1))
to = np.arctan2(xyo[:,0],xyo[:,1])

# 係数を求める
para = [0]
le_lsq = optimize.leastsq(ls_res, para, args=(to,ro))
bo = le_lsq[0][0]

print(bi, bo)

plt.plot(xyi[:,0], xyi[:,1])
plt.plot(xyo[:,0], xyo[:,1])
plt.savefig('ret.png')

Comments

[EKA]

ありがとうございます！まさに求めていたものだと思います！
まだ完全にはフォローできていませんが、参考にさせていただきます。
教えてもらっておいて恐縮なのですが、どういうプロセスで調べると参考URLにたどり着くのでしょうか、、？
一応自分でも調べたつもりでしたが、それらしいものは見つけられなかったもので、、
ご教授いただけると幸いです。

[8524ba23]

対数螺旋(logarithmic spiral)のフィッティングなので
「logarithmic spiral fitting」で検索すると上位に出てきました。
ただPythonのコードではなく内容もよく分からなかったので、ある程度前提知識は必要ですが
対数螺旋に限らず一般的な非線形関数の係数算出として最小二乗法が使えるのではないかと思い
Scipyでのサンプルコードを探しました。

[EKA]

まず英語で調べた方が良いということですね、、
近似に関しても体系的な理解が足りてないことを痛感しました、、
参考にさせていただきます。
ご丁寧にありがとうございました。