統計学 正規分布について

Question

実現したいこと

X～N（μx , σx^2)の場合、Xが複数個ある場合、その複数が従う分布について

発生している問題・分からないこと

確率変数XがN(μx , σx^2)に従う場合、確率変数Xが複数存在する場合、その複数すべてを合わせた確率変数が従う分布はどういう分布になるのでしょうか？
仮に確率変数Xがa個ある場合、aXになり、aX～N(a＊μx , a^2 * σx^2)となるのでしょうか？

是非ご回答いただければ幸いです。よろしくお願いいたします。

該当のソースコード

特になし

試したこと・調べたこと

• teratailやGoogle等で検索した
• ソースコードを自分なりに変更した
• 知人に聞いた
• その他

上記の詳細・結果

参考書等にこれに関する説明が見当たらなかったため

補足

特になし

Comments

[meg_]

> 統計検定の問題にて
問題の内容を公開しても良いものなのでしょうか？（著作権的にです）

[Omihiro]

失礼しました。
修正いたします。ご指摘有難うございます。

Answer 1

全て同一の分布に従う場合、X1 = X2 = X3 = X4となり、合計で４Xとして計算できるとのことでした。

なので4X∼N(4μ,16σ^2)となる。

ちなみに計算はE[X1 + X2 + X3 +X4] = E[X1] + E[X2] + E[X3] + E[X4] = 4μ
V[X1 + X2 +X3 +X4] = V[X1] + V[X2] + V[X3] +V[X4] + 2Cov[X1,X2] + 2Cov[X1,X3] + 2Cov[X1,X4] +2Cov[X2,X3] + 2Cov[ X2,X4] + 2Cov[X3,X4] = σ^2 + σ^2 + σ^2 + σ^2 + 2Cov[X1,X2] + 2Cov[X1,X3] + 2Cov[X1,X4] +2Cov[X2,X3] + 2Cov[ X2,X4] + 2Cov[X3,X4]
ここで、同じ同一の分布に従う⇒相関係数が1（相関係数 *√V[Xi] * √V[Xj] = Cov[Xi,Xj] ） より、2Cov[Xi,xj] = 2σ^2

与式＝4σ^2 + 6*2σ^2 = 16σ^2
以上から、N(4μ , 16σ^2)