回答編集履歴
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[IP チェックサムの秘密](http://www.mew.org/~kazu/doc/bsdmag/cksum.html)
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コメントを受けて、追記致します。
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すみません、リンクしたページだけでは説明が不十分でしたね。。
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チェックサム計算の大元の定義である [RFC1071：Computing the Internet Checksum（和訳）](http://www5d.biglobe.ne.jp/stssk/rfc/rfc1071j.html) の説明が一番、網羅的に説明されているのですが、参考になる解説のリンクを2つ程貼り付けて置きます。
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要するに、「１の補数の数学的な性質を上手く活用することで、計算速度を高めることが出来る」というのが理由です。
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① CPUが最も得意（処理速度の速い）加算とビット反転しか使用しない
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② 「1の補数の和」と言っても、個々の値の補数を取得してから和を計算する必要はなく、単純に和を求めてから、オーバーフローで桁あふれが発生した分を最後にまとめて最下位へ足せば良い
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⇒ つまり計算量が少ない
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③ 「バイト順独立」という性質により、ビッグエンディアン、リトルエンディアンというCPUのどちらのアーキテクチャにも適用できる
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④ 「平行合計」（多分、並行合計が正しい）が可能という性質のため、最近主流の64bitCPUでは、４ワード（４bit）まとめて計算できる
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⑤ 「逐次更新」、つまり『チェックサムを更新するために、１６のビット整数の差分だけを加算すればよい』
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⇒ 個人的には、これが重要だと思いますが、ルーターを通過する度にIPヘッダー部の書き換えが発生します。その際、チェックサムを再計算する必要があるのですが、１の補数を利用する方式では全体を再計算する必要はなく、修正の発生した部分の差だけを計算すれば良いので、処理速度を高めるのに有用！
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他にも幾つか「高速処理」に役立つ性質があるようですが、自分は数学が苦手なのでまだ腹落ちしていません。。。ただ、上記の「原文（の和訳）」から、そういう設計上の「意図」があったということは、下記ページの解説から気づきました。
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以下、参考にしたサイトです。
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[IP のチェックサム -- 1の補数演算](http://4049.nwr.jp/comp/ip_csum.html) の最後に記載されている「おまけ」の部分
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> 32ビット計算を使って行う場合、オーバフローが起きる回数は、単に上位 16ビットで表現されていますので、「シフト2発、足し算2発」(2発なのは補正の補正) で計算できてしまいます。
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[第10回 IPパケットの構造とIPフラグメンテーション (2/3)](http://www.atmarkit.co.jp/ait/articles/0304/04/news001_2.html) の「ヘッダ・チェックサム」フィールド：16bit幅の部分
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> 途中の計算は4bytesや8bytesずつでもかまない。そのため、計算を高速化できるという特徴がある。計算方法そのものは単純である。単に固定幅でデータを足し込んで、最上位からあふれた1bit（桁上がり）を、最下位bitへ足せばよい（例：0xffff+0xffff＝0x1fffeとなるので、0xfffeに1を加えて0xffffが結果となる）。
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