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ベジェ曲線について。。。

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windowsaa

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このベジェ曲線に接線を引きたいと考えています。

が手つかずの状態です

どのような考え方で取り組めばいいですか?

#include<stdlib.h>        //C言語標準ライブラリのインクルード
#include<GL/glut.h>       //GLUTヘッダファイルのインクルード
#include<GL/gl.h>         //GLヘッダファイルのインクルード

#define PI 3.14159265

float controlpoints[4][3] =
{
    {1,2,0},
    {2,3,0},
    {3,1,0},
    {5,1,0},
};

//プロトタイプ宣言

void init(void);
void keyboard(unsigned char key, int x, int y);
void display(void);
void resize(int w, int h);

int main(int argc, char **argv)
{
    glutInit(&argc, argv);
    /* ウィンドウの生成 */
    glutInitDisplayMode(GLUT_RGBA | GLUT_SINGLE | GLUT_DEPTH);
    glutInitWindowPosition(200, 50);
    glutInitWindowSize(400,400);
    glutCreateWindow(argv[0]);

    init();
    glutReshapeFunc(resize);
    glutDisplayFunc(display);
    glutKeyboardFunc(keyboard);

    glutMainLoop();

    return 0;
}

void keyboard(unsigned char key, int x, int y)
{
    switch (key) {
    case '\33':
    case 'q':
    case 'Q':
        exit(0);
        break;
    default:
        break;
    }
}

void display(void)
{
    int i;

    glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);

    glColor4f(1.0, 1.0, 1.0, 1.0);
    glBegin(GL_LINE_STRIP);
    for (i = 0; i <= 30; i++)
        glEvalCoord1f((GLfloat)i / 30.0);
    glEnd();

    /* 制御点を描く */
    glPointSize(5.0);
    glColor4f(1.0,1.0,0.0,1.0);
    glBegin(GL_POINTS);
    for (i = 0; i < 4; i++)
        glVertex3fv(&controlpoints[i][0]);
    glEnd();

    glFlush();
}

void resize(int w, int h)
{
    glViewport(0, 0, (GLsizei)w, (GLsizei)h);
    glMatrixMode(GL_PROJECTION);
    glLoadIdentity();
    if (w <= h)
        glOrtho(-5.0, 20.0, -5.0*(GLfloat)h / (GLfloat)w,
            12.5*(GLfloat)h / (GLfloat)w, -10.0, 5.0);
    else
        glOrtho(-5.0*(GLfloat)w / (GLfloat)h,
            5.0*(GLfloat)w / (GLfloat)h, -5.0, 5.0, -5.0, 5.0);
    glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
    glLoadIdentity();
    glScalef(3,3,3);
}


void init(void)
{
    glClearColor(0.0, 0.0, 0.0, 0.0);
    glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3, 4, &controlpoints[0][0]);
    glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3);
}
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  • LouiS0616

    2017/10/09 22:29

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制御点を順にp0, p1, p2, p3としますと、3次のベジエ曲線の特徴から、p0地点の接線はp1を通過し、p3地点の接線がp2を通過します。

よって、p0,p3に接線(というより、ベジエ曲線を制御するハンドル)を描くだけが目的ならばp0->p1の線分とp3->p2の線分でこと足りると思います。


曲線上の任意の点pを通る接線ということになると、媒介変数をt(0.0~1.0の区間内を変化させる)としてtに対するベジエ曲線上の座標と傾きを求めることになります。もしそうした機能がOpenGLに既にあるなら自分で計算する必要はないですが、ちょこっと調べて見つからなかったので、ここでは自前で計算するとしたらという仮定で計算方法を書いてみます。(もし機能があるならスミマセン)

3次の場合、tに対応する曲線上の点は

p_x = (1-t)*(1-t)*(1-t)*p0_x + 3*(1-t)*(1-t)*t*p1_x + 3*(1-t)*t*t*p2_x + t*t*t*p3_x;
p_y = (1-t)*(1-t)*(1-t)*p0_y + 3*(1-t)*(1-t)*t*p1_y + 3*(1-t)*t*t*p2_y + t*t*t*p3_y;

となるとのことです。(適当なページからのコピペです)

傾きについてですが、まず上記の式をtにより以下のように整理します。

p_x = Ax * t * t * t + Bx * t * t + Cx * t + Dx
p_y = Ay * t * t * t + By * t * t + Cy * t + Dy

(Ax, Bx, ...などはp0_x, p1_x, ...できまる値ですが計算は省略)

これをtで微分してやると

∂p_x/∂t = dp_x = 3 * Ax * t * t + 2 * Bx * t + Cx
∂p_y/∂t = dp_y = 3 * Ay * t * t + 2 * By * t + Cy

で計算できます。これで傾き(dp_y/dp_x)が求まりますので、接線の長さを適当にLと決めるとその端点TPの座標TP_x, TP_yは曲線上の点の座標p_x, p_yと傾きから、以下のようになります。

magnitude = sqrt(dp_x * dp_x + dp_y * dp_y)

TP_x = p_x ± L / 2 * dp_x / magnitude
TP_y = p_y ± L / 2 * dp_y / magnitude

OpenGLの具体的コードは自分には書けないのですが、上記がヒントになればと思います。

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