それぞれの桁の合計をだすプログラム

負数なら一旦プラスにしてフラグを立ててから桁を合計し、フラグを見てマイナスをつければいいのでは

正直この程度の処理で再帰を使うのは好きではないので…

public static long sumOfDigits(long n){
    // nが負数か
    boolean negate = n < 0;
    int sum = 0;
    // 負数ならマイナスをかけてプラスに変換
    if (negate) {
        n = -n;
    }
    // 桁合計
    while (n > 0) {
        sum = n % 10;
        n /= 10;
    }
    // 最初が負数だったならマイナスをつけて返す、そうでないならそのまま
    return negate ? -sum : sum;
}

java でなく、 ruby でかいてみていますが、 java でも同じ考え方で書きなおせると思います。

def sum_of_digits(n)
  (n <=> 0) * sum_of_digits_pos(n.abs)
end

def sum_of_digits_pos(n)
  return n if (n / 10).zero?
  (n % 10) + sum_of_digits(n / 10)
end

puts sum_of_digits(257)
puts sum_of_digits(-257)

実行結果

$ ruby a.rb
14
-14

n <= 0 は ruby の独特の記述ですが、   n と 0 を比較して、
n < 0 なら -1, n == 0 なら 0, n > 0 なら 1 を返します。

これって、-257と入力された場合は-2-5-7を計算するでいいんですよね？

swordoneさんの解答と大差ないですが、考え方としては

1. nが負数だった場合はフラグを立てる。
2. nの絶対値を求める。
3. 求めた絶対値に対して、既存の処理を行う。
4. フラグが立っていれば、最後に-1を掛ける。

になるかと。これならばプラスでもマイナスでも求まります。

if (n<10){

を

if (Math.abs(n) < 10) {

こうするだけでいいのでは？

Long.MIN_VALUEを考慮する必要がありますがMath.absが使えますー。

Math.abs
long値の絶対値を返します。引数が負でない場合は引数そのものを返します。負のときは、その正負を逆にした値を返します。

public static long sumOfDigits(long n){
    long sum=0;
    if (n <0){
        n = Math.abs(n);
        if (n<10){
        sum += n;

        }else{
        sum += n%10;
        sum += sumOfDigits(n/10);

        }
        return sum = -sum;

    }
    if (n >0){
        if (n<10){
        sum += n;


    }else{
        sum += n%10;
        sum += sumOfDigits(n/10);

    }

    }
    return sum;
    }