国民のユニークナンバーとして免許証とマイナンバー以外に何があるでしょうか？

まず、マイナンバーは税務など特定の業務を除いて、収集そのものが禁止されています。

行政手続における特定の個人を識別するための番号の利用等に関する法律 第二十条  何人も、前条各号のいずれかに該当する場合を除き、特定個人情報（他人の個人番号を含むものに限る。）を収集し、又は保管してはならない。

ということで、マイナンバーなど民間利用できないものを除けば、「全国民へ一意に振られる番号」というものはありません。運転免許証も、持っていない人もいます。

パスポート受取の際に認められる本人確認書類ですら、これだけたくさんあります。

国民のユニークナンバーはマイナンバーと住民票コードしかありません。
逆説的ですが、マイナンバーと住民票コードは国民にユニークナンバーを振るために作られました。それ以前には、国民にユニークな識別子はありませんでした。

ただし、利用には非常に強い制限がついています。
現実的に民間での利用が難しいかと。

一般的には、個人識別子（住所/名前/連絡先/誕生日等の組み合わせや）を公的証明書（免許/住民票等）で確認して区別することになります。

ちなみにですが、免許証は国民のユニークナンバーではありません。持っていない人も多いですし、そもそも取得資格がない人もいます。

他の方からご指摘がある点はいったんおきます。

そもそも、質問者さんご自身もおっしゃっているように、実際に人をシステムに登録するときは、本人確認書類などで確認する必要がありますよね。

なにか一意な番号体系を採用したからといって、それだけで本人を特定できるようになるわけではないのです。番号と本人の情報を関連づけて管理することによって、はじめて本人を特定できるようになります。

(余談ですが、マイナンバーの収集や利用が禁止・制限されるのも、特定された個人情報が、国民規模で共通の番号をキーに結合され、流通してしまうことに対する懸念からでしょう。)

とにかく、質問者さんのシステムでは、システム固有の番号を採番することで十分だと考えます。