bashで、ダブルクォーテーションに囲まれた変数の検索の仕方を教えてください。

Question

前提・実現したいこと

bashで、ダブルクォーテーションに囲まれた変数の検索の仕方を教えてください。

発生している問題・エラーメッセージ

i=1 の時、$iを用いて
AAA"1"Bといった文字列を検索したいのですが方法がわかりません。

例えば

cat A
AAA"1"B
AAA"11"BB
AAA"111"BBB

cat 1
1
11
111

の様な2つのファイルがあるときに、

cat a.sh

while read i
do
grep AAA"$i" A
done < 1

としても検索できません。
変数をダブルクォーテーションで囲んだものを含んだ文字列を検索する方法を知りたいです。

ご存知の方いらっしゃいましたらよろしくお願いいたします。