三次元空間上の同一平面上の点の座標を二次元化する方法

Question

三次元空間上の同一平面上にある 点P0...n があるとき、
点P0 を原点にとった場合の、その平面上の点P1...n の二次元座標（それぞれ P'1...n とする）を求めたいです。

たとえば、同一平面上の座標 P0...n のリストを入力すると、点P'0...n が求まる python のモジュールがもしあれば教えていただきたいです。
もしくは、numpy などを使っての具体的な計算方法をお教えいただきたいです。

与えられているもの・条件：
・点P0...n の各 (x, y, z)座標
・たとえば P0 = (2, 1, 0)、P1 = (1, 0, 1)、P2 = (0, 1, 2)
・点P0...n は同一平面上
求めたいもの：
・点P0 を原点とする、点P'1...n の二次元座標
・点P0 が原点であることは必須ではありません、点P'0 の二次元座標も同時に出力されても結構です
・必須なのは P0...n の座標が二次元になることです

Comments

[majiponi]

Z座標を無視して、XY平面への射影を考えればよいのでは? (平面がZ軸に平行なら、X成分またはY成分を無視する。) 面積保存、とか、正規直行、とか、さらに追加の要件があればそれを明記してください。

Answer 1

平面上の点P1...n の二次元座標

と言いますが，ある平面上での二次元の直交座標系の取り方は無限にありますよね．

例えば，紙の上に２次元の X-Y 座標を描くことを考えてみてください．
原点の位置を与えたとしても，X軸をどっち方向にとるか？　は底なしに自由ですよね．
つまり，「あなたの所望する二次元座標の軸の方向というのはどうやって決めるのか？」というルールが必要になります．

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で，直交する２軸方向のベクトル u, v をあなたの所望の方法で用意したならば，
P'n の２つの要素値とは，ベクトル (Pn - P0) の u方向成分と，v方向成分です．
（u,vが単位ベクトルであれば，ベクトル (Pn - P0) とこれらの内積を取るだけです）

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[追記]
仮に「軸の方向はどうでもいい．とにかく平面上に二次元の直交座標系が定まればおｋ」みたいな話であれば，
適当な２点を結ぶ向きのベクトル Pi - Pj を一方の軸方向（u）として用いればよいでしょう．

そうすれば他方の軸方向 v は，この u と直交するベクトルとして用意すればよいですね．
平面の法線 N と u との外積から求めてもよいでしょうし，
Pi, Pj と一直線上に並ばない点 Pk を用いて，Pk - Pi の u 方向成分を除去するとかいう手続きとして作っても良いでしょう．

Comments

[porcupine]

追記にご指摘の通り、「軸の方向はどうでもいい…」でした
考え方がよくわかりました。
ありがとうございます。