回答編集履歴
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追記
test
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で，直交する２軸方向のベクトル **u**, **v** をあなたの所望の方法で用意したならば，
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`P'n` の２つの要素値とは，ベクトル `(Pn-P0)` の **u**方向成分と，**v**方向成分です．
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`P'n` の２つの要素値とは，ベクトル `(Pn - P0)` の **u**方向成分と，**v**方向成分です．
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（**u**,**v**が単位ベクトルであれば，ベクトル `(Pn-P0)` とこれらの内積を取るだけです）
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（**u**,**v**が単位ベクトルであれば，ベクトル `(Pn - P0)` とこれらの内積を取るだけです）
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仮に「軸の方向はどうでもいい．とにかく平面上に二次元の直交座標系が定まればおｋ」みたいな話であれば，
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適当な２点を結ぶ向きのベクトル `Pi - Pj` を一方の軸方向（**u**）として用いればよいでしょう．
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そうすれば他方の軸方向 **v** は，この **u** と直交するベクトルとして用意すればよいですね．
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平面の法線 **N** と **u** との外積から求めてもよいでしょうし，
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Pi, Pj と一直線上に並ばない点 Pk を用いて，`Pk - Pi` の **u** 方向成分を除去するとかいう手続きとして作っても良いでしょう．
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