三次元空間上の平面に対して、ある点から垂直に下した点の座標の求め方

Question

三次元空間上の点A, B, C を含む平面があり、
同三次元空間上の点P から上記の平面に対して垂直に下した点Qを求めたいです。

点A, B, C, P の座標を入力すると、点Q が求まる python のモジュールが
もしあれば教えていただきたいです。
もしくは、numpy などを使っての具体的な計算方法をお教えいただきたいです。

与えられているもの・条件：
・点A, B, C, P の各 (x, y, z)座標
・点A, B, C, Q は同一平面上
・直線PQ と ABC平面は直行
求めたいもの：
・このときの 点Q の (x, y, z)座標

Answer 1

sympy.geometry.plane.Plane.projection

from sympy import Plane, Point3D

A = Point3D(2, 1, 0)
B = Point3D(1, 0, 1)
C = Point3D(0, 1, 2)
P = Point3D(1, 3, 7)
Q = Plane(A, B, C).projection(P)

print(Q)
print(Q in Plane(A, B, C))

#
Point3D(-2, 3, 4)
True

Comments

[退会済みユーザー]

こんな便利なのがあるんですね。Q in Plane(A, B, C) がちゃんとTrueを返してくれるのが素敵

[porcupine]

具体的なご回答ありがとうございます。

Answer 2

射影行列を使ったアプローチの概要と参考になるWebページを回答します。

• 点Aを原点Oと見なしたときの、B、C、P、Q の座標をB', C', P', Q' とする。以後、点AをOと書く。
• ベクトルOB'をb, ベクトルOC' をc、ベクトルOP'を x 、ベクトルOQ' をy とする。
• b と c を横に並べた(3行2列の)行列を K = (b, c) とする。
• このとき、x を y に写す射影行列 Ｐ (Projection matrix)は

　　　　　Ｐ = K ( **K**t K )-1 **K**t --------- (※)

で与えられる。(ただし、 **K**t は K の転置行列, また -1 は逆行列を表す。）

• したがって、上記の**Ｐを作って、y=Ｐ** x を計算し、yに対してベクトルOA分の移動を戻すことで、求めるQの座標が得られる。

式(※)の導出は、線形代数の教科書では、直交行列だったり直交補空間についての章の中で「射影」として一節設けてあったりする内容かと思います。このあたりをウェブで読めるサイトですと、以下にて上記の式(※)の導出と、numpy およびscipy.linalg によるサンプルコードがあります。

• Python 数値計算入門- 正射影ベクトルと射影行列

なお上記リンク先のページ内では、この回答の説明に使った行列 K を A と書いており、式(※) に相当するのは、同ページ内の式(23)で、式(23)のすぐ下に、SciPy で射影行列を計算するコードが挙げられています。

Comments

[porcupine]

リンクのサンプルコードで、
点A, B, C, P の座標をどこに当てはめればいいのか、自分には分からなかったです…

Answer 3

具体的な計算方法

ふつーに計算すればよいのではないでしょうか．

1. A,B,Cが乗る平面の法線Nを求める．

（A->B と A->C の外積あたりから）
2. A->P の N 方向成分を求む．
（A->P と N との内積から）
3. A->P から A->P のN方向成分を除去した結果が A->Q である．

Comments

[fana]

※言うまでも無いだろうけど，
A->Q が得られたならば，Qの座標は A + (A->Q) である．

[porcupine]

考え方はよくわかりました。ありがとうございます。