C++のテンプレートでのツリー構造での質問です。

データ構造の親子関係（ツリー構造）とクラスの親子関係（基底・派生）を混同しているように思います。クラステンプレートは、テンプレート引数が異なると互換性のない別のクラスとして認識されるので、例えば、あるファイル・フォルダーを別の枝に付け替えようとすると、型（テンプレート引数）を変えなくてはなりません。キャストどころの話ではなくなります。

前のやり方で、キャストはともかくうまく動いていたならそのままで良いと思います。
C++の特性上、キャストは仕方ないと思います。

もし、どうしてもキャストをなくしたいというなら、いっそフォルダーとファイルの操作をすべて含んだクラスにするという方法もあります。良い設計かどうかは微妙ですが。

private: 
    T m_parent; 
    std::vector<U> m_children; 

子ノードが親ノードの実体を、親ノードがすべての子ノードの実体を持とうとするならば、循環矛盾が生じると思うけど・・・

こんにちは。

どうも根本的な発想が宜しくないような気がします。

クラスの継承は通常is_a関係です。「派生クラスは基底クラスの一種」という関係がある時に派生するとうまく行くことが多いです。
今、meronobuさんは、「フォルダはフォルダの一種」、「ファイルもフォルダの一種」という使い方をしようとしているようです。

私なら、たぶん下記のような方向で考えるだろうと思います。

class DiskItem
{
    string mPath;
    bool mIsFolder;
public:
    DiskItem(string iPath, bool iIsFolder) : 
        mPath(iPath),
        mIsFolder(iIsFolder)
    { }

    bool isFolder() const {return mIsFolder;}
};

class Folder : public DiskItem
{
    vector<DiskItem*> mChildList;
public:
    Folder(string iPath) : DiskItem(iPath, ture) { }
    void addDiskItem(DiskItem* iDiskItem)
    {
        mChildList.push_back(iDiskItem);
    }
};

class File : public DiskItem
{
public:
    File(string iPath) : DiskItem(iPath, false) { }
};

fileはchildrenを持たなくて良いので、m_childrenを持つクラスを親とするのは不適切です。

ファイルとフォルダに共通するのは「親フォルダがいる」ことなので、この機能をファイル・フォルダ共通の親としたほうがうまくいきそうです。

Chironianさんの回答と名前・構造がかぶりますが以下の様な感じです。
（コンパイルしてませんので構文エラーがあるかもしれません。）

class DiskItem {
 public:
  DiskItem(DiskItem* parent) {
    m_parent = parent;
  }
 private:
  DiskItem* m_parent;
}

class Folder : public DiskItem {
 public:
  Folder(DiskItem* p) : DiskItem(p) {}
  void InsertChild(DiskItem* child);
 private:
  std::vector<DiskItem*> m_children;
}

class File : public DiskItem {
 public:
  Folder(DiskItem* p) : DiskItem(p) {}
}

と、このままではDiskItem→Folder/Fileのキャストをせねばならず、振り出しに戻ってしまいますが…。

この場合、誰かにキャストしてもらう（ダウンキャスト済みの参照を返す機能を作る）という手があります。
この時、is_instanceofみたいなことをやってもいいですが美しくないので、親クラスに実体を区別できる属性（例えばisFolder）を持たせるのが常套手段かと思います。
区別するための属性に関するコードはChironianさんが回答済みなので割愛です。

与太話ですが、ダウンキャストをしなきゃいけない親子関係はイマイチですぞ。という話しがあります。
今回でいうと、DiskItemという親を持たせるのがいいのか？というあたりでしょうか。
m_parentはFolderでいいのでは？DiskItemっていらんくね？
でもDiskItemいなかったらFile、Folderが両方m_parentを持つことになってダサくね？
という感じですが、これ以上は設計ポリシーに関する問題な気がしますのでこの辺りで止めます。
もっといい方法もあると思いますし（＾＾；

ということで、テンプレートではなくキャストをどこか一箇所にまとめてみては？というのが私の提案です。

他の人が書いてる通り，根本的に設計が間違っているのだけれど，無理やりこのままの設計でやってみるとする．

理想から察するに，あるFolderItem branchは別のFolderItem rootの子で，それ自身の子としていくつかのFileItemを持つように作りたいのだろうけれど…

• トップレベルのFolderItem rootを作るには，親にはnullptr_tを置くとして，どうしても一つ下のFolderItem branchの完全型が必要
• FolderItem branchを作るためには，親となるFolderItem rootの完全型と，子となるFileItemの完全型が必要
• 一番末端のFileItemは，子供の型はnullptr_tにすればいいとしても，親となるFolderItem branchの完全型が必要

となっていて，どうやっても型定義ができないように思える．
素直に設計を見直すのが手っ取り早いし，見直すべきコードだと思う．