桁落ちの誤差が分かりません

Question

桁落ち誤差である数を近い数で引くと桁落ちするというのが分かりません。
桁が落ちない話 - Qiitaの「桁落ちの例」に有効数字5桁で

√2+23/4567⇒(1.4142+0.0050361)×10⁰

と計算した後、-√2すると結果が0.0050×10⁰=5.0×10⁻³になり有効数字が2桁になるので真の値を5桁に丸めたもの(5.0361×10⁻³)と比べて不確かになっているというような事が書かれているのですが、桁落ちの原因は近い数で引くことが原因とありますが、自分には最初に1.4142+0.0050361の計算結果を有効数字5桁で丸めることで361の部分が失って不確かな結果になったように思えます。自分の解釈のどこが間違っているのでしょうか？

Answer 1

「桁落ち」は、「有効数値5桁同士の演算をしたのに有効数値1桁になってしまった」のように有効桁数が減少することを指します。
ほぼ値の等しい数の引き算（あるいは絶対値がほぼ等しい異符号の数の足し算）で発生します。

自分には最初に1.4142+0.0050361の計算結果を有効数字5桁で丸めることで361の部分が失って不確かな結果になったように思えます。

それは正しいのですが、それは「桁落ち」とは言わず「情報落ち」と言います。演算結果の有効桁数は5桁のままで減少していないので。

参照されたページの説明が誤解を招く説明のような気はしますね。
有効数値5桁の、123450000 と 123460000 の差は 10000 ですが、有効な数値は先頭の1だけで残りの 0 は位取りの意味しか無いです。これに 1 を足した場合、10001 になるというのは間違い。1桁に丸めて 10000 です。まあ、普通は有効桁数と位取りを分けて、1 x 10^4 とか 1E4 と書くと思いますが。

参考：Wikipedia「誤差」

Answer 2

自分には最初に1.4142+0.0050361の計算結果を有効数字5桁で丸めることで361の部分が失って不確かな結果になったように思えます。

無限精度の演算ができるのであれば、桁落ちも発生しない、というのはそのとおりですですが、それは桁落ちの現象とは別の話です。

Comments

[maisumakun]

10進5桁で丸めて演算しているのに、「その精度すら保てなくなる」というのが桁落ちという言葉の意味です。

そもそも誤差の発生しない無限精度演算の事を考えても仕方ありません。