ガウス関数の不定積分を表す方法はあるのか？

Question

pythonでガウス関数の不定積分を行いたいと考えています。
一度不定積分を求めた後で、積分範囲を代入することでいちいち積分する手間を省いて、実行速度を速めたい目的があります。

一般的に不定積分を求めてい場合はsympyモジュールでintegrateを活用することによって可能となると理解しています。

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f1 = x**2 + 1

sp.integrate(f1, x)
>>> x**3/3 + x

しかし、ガウス関数の不定積分を実行しようとエラーが発生してしまいます。

def f2(x):
    return np.exp(-(x**2/2))

sp.integrate(f2, x)
>>>
SympifyError: Sympify of expression 'could not parse '<function f at 0x0000026BF27FD558>'' failed, because of exception being raised:
SyntaxError: invalid syntax (<string>, line 1)

これはガウス関数の不定積分は初等関数では表せないことによるものなのかなと考えました。（このエラーで調べてもあまり情報がなかったので。。。）

ガウス関数の不定積分を表す方法があれば、教えていただきたく思います。
よろしくお願いいたします。

Answer 1

Google Colaboratory で、標準正規分布の確率密度関数の積分、出来ましたよ。以下、参考まで。

追記

コメントに対する回答です。コメントいただいてから調べましたが、lambdify というのを使うと、不定積分の結果を、pythonの関数（というか、callableオブジェクト)として取り出せるようです。

from sympy import *

x = Symbol('x')
f = (1/sqrt(2*pi)) * exp(-(x**2 / 2))  # 標準正規分布の確率密度関数

F = integrate(f, x)  # f の不定積分を求める
print(F)   # => erf(sqrt(2)*x/2)/2
print()

F1 = lambdify(x, F)  # Fをpythonの関数化したものを取得

# 検算のため、erf(sqrt(2)*x/2)/2 を scipy.erf と math.sqrt から求める関数を作る
from scipy.special import erf
import math

def F2(x):
  u = (math.sqrt(2) / 2) * x
  return erf(u) / 2


# F1(x) と F2(x) とが同じ結果を返すことの確認
print(F1(0), '/', F2(0))
print(F1(1), '/', F2(1))
print(F1(2), '/', F2(2))

# x=5 あたりから 0.5 に漸近する。
print(F1(5), '/', F2(5))
print(F1(6), '/', F2(6))
print(F1(7), '/', F2(7))
print(F1(8), '/', F2(8))
print(F1(9), '/', F2(9))
print(F1(10), '/', F2(10))
print(F1(100), '/', F2(100))

# F は奇関数なので、xの符号を変えると、結果もマイナスになる。
print(F1(-100), '/', F2(-100))

erf(sqrt(2)*x/2)/2

0.0 / 0.0

0.3413447460685429 / 0.3413447460685429
0.4772498680518208 / 0.4772498680518208
0.49999971334842813 / 0.49999971334842813
0.49999999901341236 / 0.49999999901341236
0.4999999999987202 / 0.4999999999987202
0.4999999999999994 / 0.4999999999999994
0.5 / 0.5
0.5 / 0.5
0.5 / 0.5
-0.5 / -0.5

上記の結果は、標準正規分布の確率密度関数を-∞から+∞まで定積分（もとい、広義積分）した値は、確率密度関数の性質上、1　ですが、この1は、上記のコードで求めた、F1(x) によって、a を十分大きな正の数（といっても、上記の結果から、a=9 程度のことですが。）として、

F1(a) - F1(-a) = 0.5 - (-0.5) = 1 

と算出される結果に合致しています。

Comments

[python_wakaran]

回答ありがとうございます。以上のようにしたところ実行できました。
ここで質問なのですがこの不定積分を関数のように扱い、xに入る変数をあとから指定して積分値を求める方法はありますのでしょうか？
kilesaさんの実行結果[2]のようにすればある範囲での積分を出すことはできるのですが、私の場合この積分を何度も行う必要があるプログラムを作成しているので、何度も積分する手間を省いて、一度不定積分を出力したうえでそこに数値を代入できれば楽になると考えているのですが。。

[退会済みユーザー]

コメントありがとうございます。回答のほうに追記しました。

[python_wakaran]

以上のようになること確認できました。
とても勉強になりました、ありがとうございます！

[退会済みユーザー]

解決したようでよかったです！私も調べながらの回答だったので勉強になりました。