C言語で小数を用いた足し算と掛け算の時の誤差を減らしたい。

Question

例として、1から5まで0.1刻みの値の総和と積を出力するプログラムを考えます。大した誤差は無いと思いますが、誤差を最小限に抑えるプログラムを考えてみました。和については該当の値の10倍にあたる整数値を足していき、最後に0.1をかけています。積については該当の値の10のn乗を考えて最後に10のn乗で割るイメージです。
方針として私はこれで誤差を最小に抑えられると思ったのですが、他にもより良い方法があれば教えていただけますでしょうか。もしくはこれで誤差を最小に抑えられるのであれば、これで大丈夫といったコメントを頂けると幸いです。

#include <stdio.h>

int main(void){
	int sum=0; 
	unsigned long long int product=1, count=1;
	for (int i = 10; i <= 50; i++) {
		count *= 10;
		sum += i;
		product *= i;
		printf("%d : sum = %-3.1f, product = %-8.3f\n",i-1,sum*0.1,(float) product/count);
	}
}	

Answer 1

なぜ誤差のある計算方法がデフォルトなのか、それはメモリや計算時間等が制限となりうるからです。
誤差はあるけれど、現実的な計算としては十分だろう、ということで現在の浮動小数点型の演算が実用になっています。もし、精度が足りないのであれば、精度を上げる代償を支払わなければいけません。

より良い方法

それを論ずるためには、計算される値にどのような制限をかけられるのか、どのくらいの誤差が許されるのか、それらに対してどのくらいの支払いができるのかの評価軸が必要ですので呈示してください(計算される値と計算は呈示されていますが)。「良い」はそれらのバランスの評価の問題です。
普通に処理系で提供される浮動小数点型の誤差が受け入れられるものであれば「特別なことはしない」のが最良の方法かも知れません。

Comments

[jonko]

ご指摘いただきありがとうございます。誤差を減らすと計算時間やメモリを犠牲にしてしまうのですね。これからは誤差の許容範囲と計算時間のバランスを考えて行きたいと思います。回答ありがとうございました。

Answer 2

考え方としてはOKで、和については改善点は無いです。

積については、unsigned long long intでもオーバーフローするので駄目です。
productとcountは、doubleにする必要があります。ただし、これでも有効桁数が足りないので、正確には計算できません。ちょっと計算してみると10進48桁になり、正確な計算のためには仮数部が160bit必要なので4倍精度でも足りません。なので、正確な計算には、多倍長10進計算ライブラリが必要です。タイトルにある「誤差を減らしたい」というだけであれば、doubleか、あればlong doubleを使うといいです。

Comments

[fana]

データを分子と分母で持っている形なので
ループ中に適宜約分してやればオーバーフローに対抗できないだろうか？　…とか思いました．

[jonko]

回答ありがとうございます。オーバーフローは確かに起こっているかと思います。基本的な方針はあっているかと思ったのでオーバーフローに注意して考えたいと思います。
場合によってはfanaさんの様に適宜約分するのが現実的かと思いましたが、多倍長10進数計算ライブラリなるものがあるのですね。奥が深そうで興味深いです。調べてみようと思います。

[otn]

他の回答にあるコスト対効果も考えると、今回の「10倍する」は微少コストなのでどんどんやればいいですが、約分（分母の素因数が2と5だけなのでそれほどの効果はなさそうですが）や、多倍長10進計算ライブラリの採用は、完全な正確性が求められる時ということになるかと思います。