2002年名古屋大学の入試問題について

Question

(1 + 2001/2002)^(2002/2001)と(1 + 2002/2001)^(2001/2002)の大小を較べよ。

数学的解法によらないで、プログラミングで解いてください。
使用言語はC++、Ruby、Pythonのいずれかでお願いします。

ちなみに、私は以下のように解きました。
（ただし、両辺が等号で結ばれないことを前提にしています。）

from decimal import *
getcontext().prec = 30
i = 2001
j = 2002

if (Decimal(1) + (Decimal(i) / Decimal(j)))**(Decimal(j) / Decimal(i)) > (Decimal(1) + (Decimal(j) / Decimal(i)))**(Decimal(i) / Decimal(j)):
    print '(1 + 2001/2002)^(2002/2001)>(1 + 2002/2001)^(2001/2002)'    
else:
    print '(1 + 2001/2002)^(2002/2001)<(1 + 2002/2001)^(2001/2002)' 

追記
回答がついてから気がついたのですが、
上記の解き方でなく、素直に

i = 2001.0
j = 2002.0

print (1.0 + (i / j))**(j / i)
print (1.0 + (j / i))**(i / j) 

の出力結果が
2.00019299755
1.99980699269
なので、
(1 + 2001/2002)^(2002/2001) > (1 + 2002/2001)^(2001/2002)
とした方がいいと思いました。

一般に、二つの数の大小を比較する問題が出たときは、
「答えだけを示すのではなく、
（どの程度の計算精度を必要としたかわかるように）二つの数の計算結果を出力したあと、
答えを示す」
とした方がいいと思いました。
今回の場合、二つの数の計算結果を出力したことで
decimal を必要としない程度の計算精度でよかったのだとわかります。

Answer 1

(既にでている記述を参考に書いてみました)

require 'bigdecimal'

precision = 30
n = BigDecimal(   '1', precision)
i = BigDecimal('2001', precision)
j = BigDecimal('2002', precision)

a = (n + i/j)**(j/i)
b = (n + j/i)**(i/j)

string_build = proc { |cmp, i, j, n|
  i, j, n = [i, j, n].map(&:to_i)
  ret = ''
  ret << "(#{n} + #{i}/#{j})^(#{j}/#{i})"
  ret << "#{cmp}"
  ret << "(#{n} + #{j}/#{i})^(#{i}/#{j})"
}

cmp =
  if a == b
    '='
  elsif a > b
    '>'
  else
    '<'
  end

puts string_build.call(cmp, i, j, n)
# => (1 + 2001/2002)^(2002/2001)>(1 + 2002/2001)^(2001/2002)

Answer 2

v1 = (1 + 2001.0 / 2002) ** (2002.0 / 2001)
v2 = (1 + 2002.0 / 2001) ** (2001.0 / 2002)

if v1 == v2
  cmp = " = "
elsif v1 > v2
  cmp = " > "
else
  cmp = " < "
end

puts   "(1 + 2001/2002)^(2002/2001) #{cmp} (1 + 2002/2001)^(2001/2002)"
puts   "#{v1} #{cmp} #{v2}"

実行結果：

(1 + 2001/2002)^(2002/2001)  >  (1 + 2002/2001)^(2001/2002)
2.000192997549895  >  1.9998069926912556

Comments

[katoy]

function として (1+1/x)**x の値を求めるものを定義したほうがよかったかもしれません。
ちなみに なんらかのグラフ描画ソフトをつかって (1+1/x)**x を描画させると、x != 0 の部分では常に単調増加なことがわかります。(Mac なら graphe を使って確認できます。)
この式を微分すると常に 0 なことからも単調増加なことがわかりますが。