「ログイン状態を保存する」は通常何をしてる？

Question

様々なログインフォームがあるサイトでチェックボックスにチェックを入れて「ログイン状態を保存する」が出来るものがあります。

あれと同じものを作ろうとした場合、入力されたメアド、パスワードをクッキーに保存しておいて、ログインページが表示された際に、クッキーに保存されたメアド、パスワードがあったらセットするということをしているのでしょうか？

その場合、クッキーには生のパスワードが保存されると思いますが、クッキーは他の人がその人のパソコンを触れるなら見ることが出来る気がしますし、それでいいものなのか気になっています。

それとも、サーバ側でセッションの有効期限を無限にしてログアウトされないようにしてるのでしょうか？
それだとブラウザを閉じたらログアウトしてしまうような気もしますがそうではないでしょうか？

今どき、ブラウザやスマホの機能でパスワードを記憶してるからなくてもいいのかなという気もしないではないですが、ログアウトしないでずっとログインしていられるならそれもいいかなと考えています。