.gitignoreされているファイルをチームメンバーと共有する方法

いろいろやり方がありそうですね。
database.php を git 管理下から外す理由によってだいぶ違うと思いますが、私が担当するとしたら ...

データベース情報をリポジトリにあげて問題ないのであれば、.gitignore からは外し、database.php に開発環境や本番環境の接続情報を環境変数で切り替える仕組みにしちゃいます。要は、git 管理下にない情報をできるだけ少なくする、という方針です（この場合、環境変数はメールなどで教えて各自設定する）。
あと昔やったのは、開発サーバでは /var/wpdev/ 以下に、開発者が自由に git clone project.git tom1 とかやると、http://dev.example.com/dev/tom1/ でその WEB サービスが動くように設定し、なおかつ、この tom1 の部分を見て自動的に接続する DB を切り替えるコードを書いておく、とか（こちらは実行ディレクトリを元に自動的に切り替える）。

データベース情報を一切リポジトリに上げられない場合は ... どうしようもなさそうですけれども ...。

CakePHP でこういうのがアリなのかどうかわかりませんが、database.php の読み込みを次のようにして、

if (is_file('database.local.php')) {
    $database = include 'database.local.php';
} else {
    $database = include 'database.php';
}

database.php には開発環境用の設定を入れてリポジトリに含める（接続先は localhost とか）、database.local.php は .gitignore で除外して、プロダクションなどの開発環境以外ではデプロイで database.local.php を生成する、などではいかがでしょうか？

ファイル名はなんでも良いので、例えば次のようなのでも良いと思います。

if (is_file('database.php')) {
    $database = include 'database.php';
} else {
    $database = include 'database.default.php';
}

基本的に、環境依存のファイル(サーバーの接続情報とか）はファイル管理システムに登録しません。
なぜなら、開発時などに、各々違う環境で開発しているため、書き換わってしまうと面倒になったり、開発時の設定が本番環境に混入してしまうことを防ぐ目的です。

ではどうやって設定ファイルを共有するかというと、いろいろ方法がありますが、cakephp風にやるとしたら、たとえば
database.php.default
といった感じに、環境依存の設定ファイルは.defaultを付けたものを管理システムにアップして、別途インストールマニュアル等で、それらのファイルを適切な設定に書き換えdatabase.phpなど.defaultを抜いたファイル名にリネームしてもらうというのが良いかと思います。