python: math.sqrt(xxx)とxxx.sqrt()の違いについて

Question

前提・実現したいこと

下記の問題でDecimal型での演算をsqrtについて行いたいです
Atcoder/ ABC191 D

下記の通り、math.sqrt(xxx)ではなく、xxx.sqrt()と書き換えると計算が通ったのですが

①xxx.sqrt()の機能は、mathの機能に入っているものでしょうか？
②そもそもmath.sqrt(xxx)とxxx.sqrt()の違いは何なのでしょうか？

発生している問題・エラーメッセージ

計算途中でzzz + math.sqrt(xxx)を使っていましたが、下記のエラーメッセージが出ます
zzzはdecimal型なので、恐らくmath.sqrtはfloat型で値が返ってくるものと考えています

TypeError: unsupported operand type(s) for +: 'decimal.Decimal' and 'float'

該当のソースコード

import math
from decimal import Decimal

def main():
    x, y, r= map(Decimal, input().split())
    topx = math.floor(x+r)
    botomx = math.ceil(x-r)
    ans = 0

    for i in range(botomx, topx+1):
        root = math.sqrt(r**2 - (x-i)**2)
        topy = math.floor(y + root)
        botomy = math.ceil(y - root)
        ans += topy - botomy + 1
    print(ans)


if __name__ == "__main__":
    main()

試したこと

下記の通り、math.sqrt(xxx)ではなく、xxx.sqrt()に変更したら問題なく解けました

import math
from decimal import Decimal

def main():
    x, y, r= map(Decimal, input().split())
    topx = math.floor(x+r)
    botomx = math.ceil(x-r)
    ans = 0

    for i in range(botomx, topx+1):
        root = (r**2 - (x-i)**2).sqrt()
        topy = math.floor(y + root)
        botomy = math.ceil(y - root)
        ans += topy - botomy + 1
    print(ans)


if __name__ == "__main__":
    main()

Answer 1

②そもそもmath.sqrt(xxx)とxxx.sqrt()の違いは何なのでしょうか？

math.sqrtは引き数をfloat型に変換してから計算します。精度はfloatなので10進で最大約15桁です。

Decimalオブジェクトのsqrtメソッドは、Decimalクラス専用に書かれているので、設定された精度で計算します。

ということで、

①xxx.sqrt()の機能は、mathの機能に入っているものでしょうか？

全く別物です。

Comments

[sasuke_]

皆さまありがとうございました！理解できました！

Answer 2

①xxx.sqrt()の機能は、mathの機能に入っているものでしょうか？

いいえ、入っていません。

②そもそもmath.sqrt(xxx)とxxx.sqrt()の違いは何なのでしょうか？

xxx.sqrtの説明は、

Return the square root of the argument to full precision. The result is
correctly rounded using the ROUND_HALF_EVEN rounding mode.

直訳するとこうです。

引数の平方根を最大の精度で返します。
結果はROUND_HALF_EVEN丸めモードを使用して正しく丸められます。

math.sqrtよりも xxx.sqrtのほうが正確ですが遅いです。

ROUND_HALF_EVEN丸めについては、JIS丸めってなに？を見てください。

Answer 3

Decimalのドキュメントにsqrt(context=None)¶
引数の平方根を最大精度で求めます。とありますので、精度の差が影響しているのかもしれません（問題の方はみてません）

import math
from decimal import Decimal
print(Decimal('10').sqrt())
# 3.162277660168379331998893544
print(math.sqrt(10))
# 3.1622776601683795