【C#】HTTPClientでログインするにはどうすればよいでしょうか

##環境
言語：C#
フレームワーク：.NET Framework 4.5.1
コンソールアプリケーション

##困っている事
以下のサイトにHTTPClient でログインしたいと考えています。
https://www.traderswebfx.jp/login.aspx?from=/

Postリクエストで200 OK の結果は返ってきますが、クッキーが取得できません。
FormUrlEncodedContentにログインID・パスワードをセットし、
リクエストヘッダーをセットすればよいと考えておりますが知識が乏しく、何が必要かがあまり理解出来ておりません。

何が足りていないのでしょうか。
また、リクエストヘッダーはクッキー以外はこちらで全てセットする必要があるのでしょうか。

C#
1class Program
2{
3    private static HttpClient _httpClient;
4    private const string LOGIN_ADDRESS = "https://www.traderswebfx.jp/login.aspx?from=/join/default.aspx";
5
6    static async Task Main(string[] args)
7    {
8        InitializeDefaultValues();
9        await GetRequest();
10    }
11
12    private static void InitializeDefaultValues()
13    {
14        ServicePointManager.DefaultConnectionLimit = int.MaxValue;
15        _httpClient = new HttpClient
16        {
17            Timeout = Timeout.InfiniteTimeSpan,
18        };
19
20        _httpClient.DefaultRequestHeaders.Add("accept", @"text/html,application/xhtml+xml,application/xml;q=0.9,image/avif,image/webp,image/apng,*/*;q=0.8,application/signed-exchange;v=b3;q=0.9");
21        _httpClient.DefaultRequestHeaders.Add("accept-encoding", @"gzip, deflate, br");
22        _httpClient.DefaultRequestHeaders.Add("accept-language", @"ja-JP,ja;q=0.9,en-US;q=0.8,en;q=0.7");
23        _httpClient.DefaultRequestHeaders.Add("cache-control", @"max-age=0");
24        _httpClient.DefaultRequestHeaders.Add("user-agent", @"Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/87.0.4280.88 Safari/537.36");
25        _httpClient.DefaultRequestHeaders.Add("origin", "https://www.traderswebfx.jp");
26        _httpClient.DefaultRequestHeaders.Add("referer", "https://www.traderswebfx.jp/login.aspx?from=/");
27    }
28    private static async Task GetRequest()
29    {
30        CookieContainer cc;
31        using (var handler = new HttpClientHandler())
32        {
33
34            //ログイン用のPOSTデータ生成
35            var content = new FormUrlEncodedContent(new Dictionary<string, string>
36            {
37                {"login_id", "id"},
38                {"login_pw", "password"},
39            });
40            content.Headers.ContentType = new MediaTypeWithQualityHeaderValue(@"application/x-www-form-urlencoded");
41            content.Headers.ContentLength = 39;
42
43            //ログイン
44            var request = await _httpClient.PostAsync(LOGIN_ADDRESS, content);
45            if (request.IsSuccessStatusCode)
46            {
47                //クッキー保存
48                cc = handler.CookieContainer;
49                var cookies = cc.GetCookies(new Uri(LOGIN_ADDRESS));
50
51                foreach (Cookie c in cookies)
52                {
53                    Console.WriteLine("クッキー名:" + c.Name.ToString());
54                    Console.WriteLine("クッキーを使うサイトのドメイン名:" + c.Domain.ToString());
55                    Console.WriteLine("クッキー発行日時:" + c.TimeStamp.ToString() + Environment.NewLine);
56                }
57                var fuga = 0;
58            }
59            else
60            {
61            }
62        }
63    }
64}