Pythonで非線形回帰曲線の相関係数と決定係数を算出したい

Question

前提・実現したいこと

Pythonで、非線形回帰のプログラムを作成しています。
正規方程式で二次曲線の曲線式は算出できたのですが、
・相関係数
・決定係数
これらの計算方法がわかりません。詳しい計算方法を教えていただきたいです。

使用したデータ

x = [1, 3, 2, 4, 7, 4, 2, 4]
y = [2, 4, 3, 6, 3, 5, 3, 2]

算出した回帰曲線式

y = -0.2068x^2 + 1.84143x + 0.25726
(算出したこの式は正しいです。)

試したこと

相関係数は、PytonのMICというライブラリの使用を考え、
決定係数は相関係数の2乗でいいかと考えましたが、
1, MICでの相関係数の計算は、算出した回帰曲線の式を使用しないので使いたくない。
2, 非線形では、「決定係数 = 相関係数の2乗」という関係が成り立たないという情報があった。
という上記2点の利用から断念いたしました。

補足情報

なるべく、算出した回帰曲線を使用する係数の計算方法を教えていただきたいです。

Answer 1

回帰曲線の相関係数というものは定義されていません。
相関係数はデータに対して存在し、回帰曲線をどう考えたかとは無関係です。
決定係数は、回帰曲線の確からしさを示すもので、データと回帰曲線から決めますが、何を決定係数とするかはいろいろな考え方があります。線形回帰の場合には、相関係数の二乗を決定係数とするのが普通です。

二次式による回帰を使った場合の回帰曲線の決定係数をどうするかは、私ならばその二次関数の標準形に合わせて変数変換を行ったうえで、相関係数を取ってその二乗を決定係数としますが、KTGさんの考える決定係数がそれと同じ物なのかどうかはわかりません。まず、KTGさんが二次式による回帰をどのように定義したいのかを示してもらえませんか。

研究発表での r 2 の使用について思うこと

などを参照してください。

Answer 2

回帰で求めた2次の式にデータのxを代入して計算した値(y'とします)と、データのyの関係を
y=y'+誤差
とすれば、y'とyは線形関係なので、y'とyで普通に相関係数とか決定係数とか計算したらいいと思います