サンプリングした値の集合が一様分布に従っているか判断する方法を知りたい

区間[0,1]の一様分布からサンプリングした値の集合が、一様分布に従っているか判断する方法を知りたいです。
サンプリングした値の平均0.5、分散1/12 (0.0833) に近いかで判断する方法よりも正確な方法をお願いします。

平均・分散だけの判断だと等差数列0.005, 0.015, ..., 0.995は平均0.5、分散0.0833になります。

python
1statistics.mean([0.01 * i + 0.005 for i in range(100)]) # 0.5
2statistics.pvariance([0.01 * i + 0.005 for i in range(100)]) # 0.0833

しかし、0.2113を50サンプルと0.7887を50サンプルの集合も平均0.5、分散0.0833になり、等差数列と明らかに従う分布が異なりますが区別できません。

python
1statistics.mean([0.2113] * 50 + [0.7887] * 50) # 0.5
2statistics.pvariance([0.2113] * 50 + [0.7887] * 50) # 0.0833

分布間の距離といえばKL情報量とかを思い浮かべますが、サンプリング集合から計算する方法を知りたいです。別の方法でも構いません。

追記:

よくよく考えれば0.1区切りのヒストグラムでbinのサンプル数の分散を見れば十分かもしれません。

jbpb0

2020/12/22 23:58 編集

質問の意味が、乱数が本当に「ランダムなのか」検定したい、ということならば、たとえば下記で提案されてる「RMTテスト」は実数の乱数の検定もできる、とのことです https://repository.lib.tottori-u.ac.jp/files/public/0/4496/20180622150003229055/G21_15101A00282.pdf 質問の意味が、「ランダムなのか」ではなく「一様なのか」でしたら、的外れかもしれません (論文詳しく読んで無いので、分布の形の検定に使えるのかは分かりません) 【追記】質問読み直したら、そもそも対象が「乱数」って書いてないですね完全に的外れですね失礼しました

unknown_user

2020/12/23 00:24

ご回答ありがとうございます。一様分布に従うデータに対する異常検知をしたくて質問をしました。ややこしくてすいませんでした。 RMTテストという乱数の検定方法があるのですね。参考にさせていただきます。

jbpb0

2020/12/23 01:24

> 0.1区切りのヒストグラムでbinのサンプル数の分散を見れば元データが完全な一様分布だとすると、各binには平均して全データ数の1/10が入るので、その数から(元データが完全な一様分布だったとしても発生してしまう)各binに入るデータ個数のバラツキを統計的に計算しておいて、その予想バラツキよりも変動が大きかったらアラームを上げる、みたいな感じですかね

unknown_user

2020/12/23 02:53

はい、おっしゃる通りの方法が現時点で無難かなと感じております。最初の例 (等差数列の集合と偏った集合) だと、それぞれ分散が0と400なので区別できそうです。 ```python statistics.pvariance([10] * 10) # 0 statistics.pvariance([0] * 8 + [50] * 2) # 400 ``` binの頻度なら全体をサンプル数で割れば離散確率分布になるので、対象が一様分布に限らず、分布間の距離を一応計算できるかなと思っています。

fana

2020/12/25 01:37 編集

サンプル集合が，ある分布に従っているかどうかを検定する，という話でしょうか．そうであれば，分布の検定の話を調べると良いのではないかと思います． "K-S検定" (コルモゴロフ-スミルノフ検定) とか何とかいうやつがそれっぽい？ググった内容を斜め読みしただけの感じですが，検定対象の分布（今回は一様分布）の累積確率密度関数とサンプルの累積との差を見るっぽい(?)ので，「等差数列0.005, 0.015, ..., 0.995」よりも「0.2113を50サンプルと0.7887を50サンプル」のほうが「それっぽくない」という結果が得られるのではないかと想像します．

unknown_user

2020/12/28 15:02 編集

> "K-S検定" (コルモゴロフ-スミルノフ検定) とか何とかいうやつがそれっぽい？ご回答ありがとうございます。K-S検定はまさに私が知りたかったものでした。調べてみましたが結構簡単に求められますね。ヒストグラムの差よりも累積分布の差を見る方がビンの数を決める必要がなくサンプル数に左右されず理にかなっていそうなので、大変ありがたい情報です。

行動規範の内容に同意します

回答1件

ベストアンサー

一様分布の累積分布は線形になるのでこれを応用するといいかと思います。

python
1x1 = stats.uniform.rvs(loc=0,scale=1,size=100)        # 一様分布からの乱数
2x2 = np.array([0.01 * i + 0.005 for i in range(100)]) # 疑似的に生成した一様分布
3x3 = np.array([0.2113] * 50 + [0.7887] * 50)          # 平均・分散が同じである非一様分布
4
5x1_cdf = stats.uniform.cdf(np.sort(x1),loc=0,scale=1)
6plt.plot(x1_cdf)    # 大体線形になる
7
8x2_cdf = stats.uniform.cdf(np.sort(x2),loc=0,scale=1)
9plt.plot(x2_cdf)    # 線形になる
10
11x3_cdf = stats.uniform.cdf(np.sort(x3),loc=0,scale=1)
12plt.plot(x3_cdf)    # 線形にならない
13

分析対象データが微妙な場合は計算が必要なので上記を拡張します。
考え方は以下の通りです。
・手元データと同件数の一様分布のデータをランダムに比較対象として生成して累積分布を計算する。
・手元データと比較対象の累積分布を比較して一様分布からサンプリングされていることを判定する。

python
1result = []
2
3for i in range(1000) :
4    x1 = np.sort(stats.uniform.rvs(loc=0,scale=1,size=100))
5    x1_cdf = stats.uniform.cdf(x1,loc=0,scale=1)
6    x3_cdf = stats.uniform.cdf(x3,loc=0,scale=1)
7    tmp = np.mean(x1_cdf-x3_cdf)
8    result.append(tmp)
9

なお、ランダムにデータを生成していることによる偶然性を排除するため、上記では1000回の試行をしています。
上記は、サンプル単位の際の算術平均を評価値にしていますが、同時分布とみなして対数変換した合計値を用いたほうがいいかもしれません。

投稿2020/12/27 04:05

R.Shigemori

総合スコア3378

unknown_user

2020/12/28 14:36

ご回答ありがとうございます。この方法はとても良いですね。ヒストグラムだとビンの数を決める必要がありましたが、累積分布ならサンプル数に左右されずパラメタも必要ないのがいいですね。 > 同時分布とみなして対数変換した合計値を用いたほうがいいかもしれません。対数の和=積の対数はわかるのですが何に対する対数の和でしょうか？あと同時分布としてスコアを求める方がいい理由は何でしょうか？質問続きで申し訳ありません。