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テーマ、知りたいこと
sklearnのTruncatedSVDのドキュメントによると、
リンク内容https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.decomposition.TruncatedSVD.html
"PCA（主成分分析）とは異なり、この推定器は特異値分解を計算する前にデータをセンタリングしない。つまり、疎な行列を効率的に扱うことができる"
と記載されていますが、なぜこう言えるのでしょうか？
直感的にわかる説明や、資料、書籍があれば教えていただきたいです。
みんなに聞きたいこと、知りたいことを簡潔に書いてください。
背景、状況
MLで次元圧縮手法を学習している中で上記の疑問にぶつかりました。
回答2件
#1
総合スコア38266
投稿2024/03/27 08:55
Claudeの回答
sklearn.decomposition.TruncatedSVD(LSA)についての質問です。
LSAではPCAとは対照的に、特異値分解の前にデータを中心化しません。
そのため「疎行列を効率的に処理できる」とのことですが、その理由を分かりやすく説明してください。
sklearn.decomposition.TruncatedSVDクラスを利用して潜在的意味解析(LSA)を行う際、入力データを中心化(平均値を引く)しない理由は、疎行列(sparse matrix)を効率的に処理できるためです。
疎行列とは、ほとんどの要素が0で、非0の要素が少数のみの行列のことです。テキストデータからtf-idf行列を作成すると、このような疎行列になります。
疎行列を中心化すると、全ての要素に平均値を足し引きする必要があり、非0要素だけでなく、0要素にも演算を行わなければなりません。これは計算コストが高くなります。
一方、中心化をしないままSVD(特異値分解)を行うと、平均値0の前提の下で分解が可能です。このため、非0要素のみに対して演算を行えば済むので、疎行列に対して効率的な計算ができます。
つまり、テキストデータの疎行列に対して、SVDを適用する際に中心化をスキップすることで、計算コストを大幅に削減できるというメリットがあります。LSAではこの点を考慮し、中心化は行わず直接SVDを適用することで、疎行列に対する効率的な処理を実現しています。
中心化しないということは、入力データの平均値が0である前提で処理をするということでしょうか？
では、入力データの平均値が０でない場合は、LSAを利用すべきではないということでしょうか？
はい、その理解で正しいです。
LSAでは、入力データの平均値が0であることを前提としています。これにより、平均値の引き算をスキップできるので、疎行列に対する計算が効率化されます。
一方で、入力データの平均値が0でない場合、そのままLSAを適用すると、適切な次元削減ができなくなる可能性があります。
なぜなら、LSAの主成分は平均0を前提に導出されているため、平均値がズレていると、本来の主要な成分ではなく、平均値の影響を強く受けた成分を抽出してしまうからです。
そのため、入力データの平均値が0でない場合は、以下の2つの対処法があります。
- データを予め中心化(平均値を引く)してから、LSAを適用する
- 主成分分析(PCA)を使う
1)の場合は、データを中心化することで平均0の前提を満たし、LSAが適切に機能するようになります。ただし、疎行列に対する計算効率は低下します。
2)の場合は、PCAはデータの中心化を内部で自動的に行うため、平均値に左右されません。ただし、PCAの計算コストが高い点に注意が必要です。
つまり、LSAを使う場合は入力データの平均値が0であることが前提ですが、そうでない場合でも上記2つの対処法があります。状況に応じて適切な方法を選ぶ必要があります。
一般的に、テキストデータから作成されたtf-idf行列データは平均値が０であると考えてよいでしょうか？
はい、そのとおりです。
一般的に、テキストデータからtf-idf行列を作成した場合、その行列データの平均値は0に近い値になると考えられます。
tf-idf行列は、以下の式で計算されます。
tf-idf(t,d) = tf(t,d) * idf(t)
ここで、
- tf(t,d) = 単語tがドキュメントdに出現する回数
- idf(t) = log(総ドキュメント数 / 単語tが出現するドキュメント数)
tf-idfの値は、単語の出現頻度と逆文書頻度の積で表されます。
tfは0以上の値ですが、idfの値は以下のように0を中心とした値になります。
- 極めて珍しい単語の場合 → idfは大きな正の値
- 頻出単語の場合 → idfは小さな正の値または負の値
このように、tfとidfの積によってプラスマイナスが打ち消し合う傾向にあるため、最終的なtf-idf行列の要素の平均値は0近くになるのが一般的です。
つまり、テキストデータからtf-idf行列を作成する限り、その行列データは平均0に近い値になると考えられます。この性質が、LSAでデータの中心化をスキップできる理由の一つになっています。
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