プログラムでローラン展開を利用するのですが、解き方がわかりません。

Question

ローラン展開について書いてある最後の問題の(1)に関しての質問です。

1. 式14はどっから出てきたのでしょうか？
2. 1/1-zなどが解説の部分で出てきますが、式(1)と式(14)の関係はあるのでしょうか？

以下は私の質問に対する考えです。
1の留数とはcが1の時の留数が1/2ということだと思いますが、(1)をシグマの形に展開すると式14になり、
その式14でローラン展開の公式を使い、積分の分数の形にした場合、cの部分が1であり、積分すると2πiになり、その式の係数が1/2ということでしょうか？

どうか詳しい計算を踏まえて教えて頂けると幸いです。

こちらが問題のURLです。
こちらの資料の最後のページの(1)に関する問題です。

Answer 1

この手の数学を久しく触っていないのであまり自信がないのですが

1. 式14はどっから出てきたのでしょうか？

式(14)は以前の資料でやったと書いてあるので資料自体が何かの続きになっていて、それのバックナンバーで既に導出したということではないでしょうか。1/(z^2-1)をz=1周りでローラン展開したものです。

1. 1/1-zなどが解説の部分で出てきますが、式(1)と式(14)の関係はあるのでしょうか？

p1の式(1)は公式で、式(14)は1/(z^2-1)をz=1周りでローラン展開したものです。もしかして例題3の問(1)におけるf(z)を式(1)と言っていますか？？

以下は私の質問に対する考えです。

1の留数とはcが1の時の留数が1/2ということだと思いますが、(1)をシグマの形に展開すると式14になり、
その式14でローラン展開の公式を使い、積分の分数の形にした場合、cの部分が1であり、積分すると2πiになり、その式の係数が1/2ということでしょうか？

「1の留数」に対する理解が怪しい上に何度も言いますが、例題3の問(1)のf(z)をz=1周りでローラン展開すると式(14)となります。そしてRes(1/(z^2-1),1)が1/2です。1の留数を求めるだけであればf(z)を部分分数分解してもらえばf(z) = 1/2(1/(z-1)-1/(z+1))となり、すぐにわかります。

資料の方ではカッコよく書いてますけど、愚直にz=1周りでローラン展開するならこうなるかと(間違ってたらすみません)

すみません大事なことを忘れていました。本質問のタグMathematicaとなっていますが、数学の話を取り扱うタグではありません。同名のシステムに関する質問を取り扱うタグです。

Comments

[KZK13]

ご親切にどうもありがとうございます！

[shin1845]

結構丁寧に回答したつもりだったのですが、間違いがありましたでしょうか？なかったのであればご解決いただけなかったようで少し残念です。