C++ - std::setprecision() の仕様について

double 型は10進で最大16桁程度の有効桁数しかないと理解していますが、std::setprecision(50) のようにそれより大きい桁数を設定しても、なんらかの値が出力されます。
例えば、以下のコードで std::log(2) の値を出力すると、15桁程度までは真の値と合っていて、それ以降も間違ってはいますが、値が出力されます。

そこで質問なのですが、

16桁以降の値はどこから来たのでしょうか？
std::setprecision(53) より大きい値を設定しても53桁までしか表示されないようですが、そういう仕様でしょうか？
もしくは大きい桁数を設定した場合の挙動は動作未定義なのでしょうか？

参考

環境

C++14
Visual Studio 2019 / GCC 11 (Wandboxで確認)
上記2つのコンパイラで出力結果が一致することを確認

コード

text
10.693147180559945 28622676398299518041312694549560546 出力
20.693147180559945 30941723212145817656807550013436026 正解

正解のソース: log(2) 50digits - Wolfram|Alpha

cpp
1#include <cmath>
2#include <iomanip>
3#include <iostream>
4
5int main()
6{
7    std::cout << std::log(2.) << std::endl;
8    // 0.693147
9
10    std::cout << std::setprecision(16) << std::log(2.) << std::endl;
11    // 0.6931471805599453
12
13    std::cout << std::setprecision(52) << std::log(2.) << std::endl;
14    // 0.6931471805599452862267639829951804131269454956054688
15
16    std::cout << std::setprecision(53) << std::log(2.) << std::endl;
17    // 0.69314718055994528622676398299518041312694549560546875
18
19    std::cout << std::setprecision(54) << std::log(2.) << std::endl;
20    // 0.69314718055994528622676398299518041312694549560546875
21
22    // 正解 0.69314718055994530941723212145817656807550013436026
23
24    return 0;
25}

追記

std の実装はまだ確認してませんが、yohhoy さん、SHOMI さんのコメントで値がどこから出てきたのか謎が解けました。
ご回答ありがとうございます。

double a = std::log(2.) の浮動小数点表記

bias = 1023
仮数部 0x162E42FEFA39EF * (2 ** -52)
指数部 0x3FE
浮動小数点数: 0x162E42FEFA39EF * (2 ** -52) * (2**0x3FE - 1023) = 6243314768165359 / 9007199254740992

6243314768165359 / 9007199254740992 = 0.69314718055994528622676398299518041312694549560546875

行動規範の内容に同意します

回答1件

ベストアンサー

C++標準仕様は、浮動小数点数に関してほとんど何も規定しません。double型が IEEE 754(ISO/IEC 60559) 仕様に準拠しないことさえも許容しています。

一般的には double型 == IEEE754 binary64 が採用されますので、この前提で以下回答を記述しています。

16桁以降の値はどこから来たのでしょうか？

おそらく、double内部表現(基数=2)から10進表現へ変換するロジックを、16桁目以降も続けて適用した結果と考えられます。
double型の値は10進表現だと有効数字15桁しか持たないため、16桁目以降の数値は信頼できません。

std::setprecision(53) より大きい値を設定しても53桁までしか表示されないようですが、そういう仕様でしょうか？

仕様上は「処理系定義」です。
おそらく、doubleが基数2で表現できる最大桁数53で出力を打ち切るロジックになっているのでしょう。

もしくは大きい桁数を設定した場合の挙動は動作未定義なのでしょうか？

仕様上は「処理系定義」です。

投稿2020/07/26 16:08

yohhoy

総合スコア6191

SHOMI

2020/07/26 18:24 編集

>10進表現へ変換するロジックを、16桁目以降も続けて適用した結果と考えられます。ですね。 std::log(2.)の結果のdouble内部表現は0x3fe62e42fefa39efなので、指数部0x3fe、指数部バイアスを掛けて-1 仮数部0x62e42fefa39ef、頭に1を補って0x162e42fefa39ef=6243314768165359 よって 6243314768165359*2^(-52-1) =6243314768165359/9007199254740992 =0.69314718055994528622676398299518041312694549560546875