二次曲線によるフィッティング

Question

与えられたデータについて2次曲線ax^2 +bでフィッティングしたいのですが、(一次の部分はなし)何か方法はないでしょうか。polyfitではできないようです。

皆様ありがとうございました。最小二乗法を手で解いてきました。以下のコードでです。大変お世話になりました。

# x, yはarray.   A, Bはy = A*x**2 + Bの値
n = len(x)
A = ( -n*np.dot(x**2,y)+ np.sum(y)*np.sum(x**2) )/( (np.sum(x**2))**2 - n*np.sum(x**4) )
B = ( -np.sum(x**2)*np.dot(x**2,y) + np.sum(x**4)*np.sum(y)  )/( n*np.sum(x**4) - (np.sum(x**2))**2.0 )

Answer 1

やり方

最小二乗法は sklearn.linear_model.LinearRegression または numpy.linalg.lstsq を使う。

参考

• sklearn.linear_model.LinearRegression — scikit-learn 0.23.1 documentation
• PRML - 「1.1 多項式曲線フィッティング」の Python 実装

サンプルコード

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

np.random.seed(0)

a, b = 1.2, 2  # 真のパラメータ


def make_dataset(n, noise=False):
    x = np.linspace(-3, 3, n)
    y = a * x ** 2 + b
    if noise:
        y += np.random.normal(0, 0.5, n)

    return x, y


# 訓練集合を作成する。
x_train, y_train = make_dataset(10, noise=True)
x, y = make_dataset(100)


def to_polynominal_feature(x):
    return np.column_stack([x ** 2, x ** 0])  # [x^2, 1]


X_train = to_polynominal_feature(x_train)
X = to_polynominal_feature(x)

model = LinearRegression(fit_intercept=False).fit(X_train, y_train)

# 最小二乗法の解
a_sol, b_sol = model.coef_

# 近似した曲線
y_pred = model.predict(X)

# 描画する。
fig, ax = plt.subplots()

ax.scatter(x_train, y_train, s=50, fc="none", ec="b", label="train")
ax.plot(x, y_pred, "r", label=fr"${a_sol:.2f} x^2 + {b_sol:.2f}$")
ax.plot(x, y, "g", label=fr"${a:.2f} x^2 + {b:.2f}$")
ax.legend()
ax.grid()

plt.show()

Answer 2

手元のデータがどういうものなのかがわからないので方針だけ記載しておきます。

１．手元のｘを使ってｘの二乗をあらかじめ計算しておく。
２．ｘの二乗を単回帰のにおけるx、手元のyを目的変数とみなして回帰モデルとして重みと係数を学習

polyfitでもパラメータの指定や多少の工夫でもできた記憶があります。とりあえず、実装してみてうまくいかない点をあらためて質問していただけるといいかと思います。