Seed値によるランダムな数学関数の生成

Question

iOSでのアプリ開発を検討しているものです。
現在、生成したランダム値からランダムな数学関数を生成するアルゴリズムを実装したいと考えております。
最終的にはその関数を画面上にx-yグラフとして描画させる予定です。

生成したい数学関数はlogやexp、絶対値と多項式の組み合わせなどを考えております。例としては以下のような関数です。

一応以下のような処理は考えたのですが、if処理内に記述した各項の線形結合でしか関数が表現できず、どうしたらよいのかと悩んでおります。
何か良い方法ありましたら、教えていただけると助かります。

let seed = Double(arc4random_uniform(UInt32.max))/Double(UInt32.max - 1)

func functionGenerator (Double x, Double Seed) -> Double{
     var tmp = 0.0
     if (Seedに関する条件1) {
           tmp += x
     }
     if (Seedに関する条件2) {
           tmp += pow(x, 2)
     }
     if (Seedに関する条件3) {
           tmp += pow(M_E, x)
     }
     ...
     return tmp
}

Answer 1

import Foundation
precedencegroup Composition {
    associativity: right
    lowerThan: BitwiseShiftPrecedence
}
infix operator~>: Composition
func ~>(f: @escaping (Double) -> Double, g: @escaping (Double) -> Double) -> (Double) -> Double {
    return {(x: Double) in f(g(x))}
}
func +(f: @escaping (Double) -> Double, g: @escaping (Double) -> Double) -> (Double) -> Double {
    return {(x: Double) in f(x) + g(x)}
}
func -(f: @escaping (Double) -> Double, g: @escaping (Double) -> Double) -> (Double) -> Double {
    return {(x: Double) in f(x) - g(x)}
}
func *(f: @escaping (Double) -> Double, g: @escaping (Double) -> Double) -> (Double) -> Double {
    return {(x: Double) in f(x) * g(x)}
}
func /(f: @escaping (Double) -> Double, g: @escaping (Double) -> Double) -> (Double) -> Double {
    return {(x: Double) in f(x) / g(x)}
}

func functionGenerator(_ seed: Int, _ depth: Int = 0) -> (Double) -> Double {
    if (depth == 10) {return {$0}}
    if (/*condition 1*/) {
        /*本当はseedを変えて再帰すべき*/
        return functionGenerator (seed, depth + 1) + functionGenerator (seed, depth + 1)
    }else if (/*condition 2*/) {
        return functionGenerator (seed, depth + 1) * functionGenerator (seed, depth + 1)
    }else if (/*condition 3*/) {
        return log ~> functionGenerator (seed, depth + 1)
    }else if (/*condition 4*/) {
        return sqrt ~> functionGenerator (seed, depth + 1)
    }else {
        return abs ~> functionGenerator (seed, depth + 1)
    }
}

コードがSwiftになってたので一応Swiftで書いてみました。
だいぶ細かい部分は省略してるのでわかりづらいとは思いますが、こんな感じで再帰的にジェネレーターを呼び出して、合成すると複雑な関数になると思います。
関数を返すのではなく具体的なxの値で計算させる場合も、同様に再帰的に計算させれば同じことができます。

Answer 2

例えば、こんなのはいかがでしょうか?

1. seedで乱数を初期化する。
2. 1から10までの整数乱数を出す。(例えば7が出る)
3. 7個の項を生成する。各項がxとなる確率は1/2、それ以外の-10から10までの乱数となる確率は1/2

例: x 7 3 x -9 x 4
4. その後、7-1個の2項演算子を、逆ポーランド記法を守るように配置する
例: x 7 + 3 * x -9 / pow x * 4 +
5. 最後に、任意の位置に単項演算子を挿入する。
例: x 7 + 3 exp * x -9 / pow x abs * 4 +
6. 計算する
例: ((x+7)(e^3))^(x/(-9))|x|+4

Comments

[Kashi_wamochi]

とても分かりやすい回答ありがとうございます！
逆ポーランド記法は聞いたことがありましたが、こういった活用法もあるのですね。
勉強になりました。